Lughezza grafico

[univr1]

vi ho gia' proposto l'esercizio 4 del topic "esame", vorrei alcune spiegazioni senza utilizzo di seno iperbolico e altre diavolerie, tramite trigonometria piu' semplice.

y=log(cos x) calcolare la lunghezza del grafico tra [0; pi/3]

[WonderP1]

Nel topic "esame" ho visto la soluzione di camillo, che praticamente dice che per trovare la lunghezza che ti serve non devo far altro che trovale il valore dell'integrale di 1/cos(x) in dx tra 0 e Pi/3. Lui cide che si può calcolarlo per sostituzione, giustamente, io l'ho trovato anche come integrale notevole (buon vecchio manabile di matematica)
log|tan(x/2 +pi/4)|
Quali spiegazioni vuoi? Dicci che saremo lieti di aiutarti

[univr1]

cosa sono le formule parametriche che utilizza?
come mai sostituisce in quel modo?
come fa ad arrivare a quella soluzione?
io sono rimasto fino a 1/cos x l'avevo fatto anche da solo e non ero riuscito ad andare avanti

[Camillo]

In effetti nella mia precedente risposta ho dato per scontato troppe

cose.
Parto dalla tua post del 17/09:
Le formule parametriche permettono di esprimere seno e coseno come

funzioni razionali di tg(x/2).
Se chiamo t= tg(x/2) allora si ha ( vedi manuale di trigo ):
sen x = 2t/(1+t^2) ed anche cos x = (1-t^2)/(1+t^2)
che sono appunto espressioni razionali in t e questo è importante

perchè le funzioni razionali si integrano: magari i calcoli saranno

lunghi e fastidiosi, però..
Quando si è provato di tutto per integrare una funzione trigo, senza

riuscirci, ad es. usando le formule di duplicazione, di bisezione,di

prostaferesi etc. etc., si è provato a modificare l'espressione

inziale aggiungendo e togliendo qualcosa di opportuno o si è

moltiplicato e diviso per qualcosaltro, oppure si è provato ad

integrare per parti(spesso funziona), allora, se tutto è andato a

vuoto , come ultima spiaggia restano le formule parametriche,

associate al metodo di integrazione per sostituzione.Questo , sia

chiaro, è come la penso io.
Se t= tg(x/2) allora vuol dire che : x=2*arctg(t) (ok?);

differenziando questa espressione si ottiene:
dx = 2*dt(1+t^2) (ok?)
A questo punto siamo pronti a sostituire nell'integrale iniziale le

nuove funzioni di t ( al posto di cos x metti quanto indicato sopra,

idem per dx)ottenendo per la funzione da integrare ( qualche

calcoletto da fare):
2*dt/(1-t^2); questa funzione razionale non è integrabile così come

è, ma va modificata.
Le radici del denominatore sono : +1 e -1 e il denominatore può

essere espresso come (1+t)(1-t): bene 1/(1-t^2) può essere scomposto

in questo modo.( A/(1+t))+(B/(1-t)) che deve essere uguale a:

1/(1-t^2).
Dobbiamo determinare A,B.
Facendo i conti si vede che

(A/(1+t))+(B/(1-t))=((A+B)+(B-A)t)/(1+t)(1-t) ma per il principio di

identità dei polinomi dovendo questa espressione essere uguale a

:1/(1-t^2) si ha che :
A+B=1 ; B-A=0 da cui : A=1/2 ;B=1/2.
Pertanto la funzione da integrare

diventa:2*1/2*integrale((1/(1+t))+(1/(1-t))
che è facilissima e si ottiene : ln | 1+t|-ln|1-t|+C

=ln|(1+t)/(1-t)|+C.
Adesso 2 possibilità :
1) considerando che abbiamo posto : t=tg(x/2) allora x=0 corrisponde

a t=0, mentre x=pi/3 corrisponde a t=sqrt(3)/3. Calcolo pertanto

l'integrale definito, di cui ho appena ottenuto una primitiva tra 0 e

sqrt(3)/3 e il gioco è fatto.
2)più lungo : sostituisco nella soluzione ottenuta al posto di t :

tg(x/2) e ottengo così:
ln|(1+tg(x/2))/(1-tg(x/2))| che calcolo tra 0 e pi/3.
Ricordando la formula della somma per le tangenti :

tg(alfa+beta)=(tg(alfa)+tg(beta))/(1-tg(alfa)*tg(beta)) e ricordando

che tg pi/4 vale 1, si giunge a dire che la soluzione trovata può

essere anche scritta come:ln|tg(x/2 + pi/4)| come inizialmente

indicato.

Se hai dei problemi , qualcosa non chiaro , fatti sentire
ciao
Camillo