Lughezza di una curva

[manu911]

come si puo' dimostrare la formula per la lunghezza di una curva in tre dimensioni?
per la formula intendo la seguente: $int_a^b ||r'(t)||dt$

[Silente]

Io guarderei l'immediata interpretazione fisica di quella formula.
Quell'integrale rappresenta la somma di tutti gli spostamenti infinitesimi da a a b.
Infatti il modulo di quel vettore è il modulo del vettore velocità e dt è un intervallo di tempo infinitesimo.

[Emar1]

Beh si imposta il problema come la rettificazione della curva, si approssima la curva con una spezzata \(\Gamma_{\mathcal{D}}\) che dipende dalla suddivisione \(\mathcal{D}\). Poi si mostra, in analogia con l'integrale di Riemann, che:

\[l(\gamma) \ge \sup_\mathcal{D} l(\Gamma_{\mathcal{D}})\]
e successivamente:

\[l(\gamma) \le \sup_\mathcal{D} l(\Gamma_{\mathcal{D}})\]
Concludendo la dimostrazione.

Per i dettagli puoi consultare qualsiasi testo di Analisi Matematica serio. Ma il tuo testo che dice?

[manu911]

il prof nei suoi appunti per la "dimostrazione" descrive il calcolo di una poligonale inscritta nella curva, (la lunghezza della curva quindi corrisponde all'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte in essa) poi dice che parametrizzando la curva e con opportuni accorgimenti ci si riconduce ad una somma di Riemman e quindi alla formula della lunghezza della curva... vorrei sapere questi oppurtini accorgimenti di cui "parla" (che non ci sono nei suoi appunti)