L'operatore $\nabla^(2)$ appartiene a $G(M,\beta,X)$ ?

[in_me_i_trust]

Salve a tutti,

volevo chiedervi se e dove posso trovare la dimostrazione che l'operatore

$A=\frac(\partial^(2) )(\partial x^(2))+\frac(\partial^(2) )(\partial y^(2))$

appartiene a $G(M,\beta,X)$

Dove $D(A)={f: f\in X, Af \in X, \frac(\partial f)(\partial x)(0,y)= \frac(\partial f)(\partial x)(1,y)=\frac(\partial f)(\partial x)(x,0)=\frac(\partial f)(\partial x)(x,1)=0}$

Ovviamente non mi aspetto esista per questo caso specifico, mi basta qualcosa di simile tanto per capire come ragionare per effettuare la dimostrazione.

Grazie per ogni suggerimento.

[Studente Anonimo]

Permettimi di dire che qui siamo al limite del ragionevole: cosa sono $G, M, beta, X$ ?

E perché hai postato questo nella sezione di algebra?

Sposto in analisi.

[gugo82]

Riprendo la domanda di Martino: chi o cos'è $G(M,beta,X)$? (E se ci dici anche cosa sono $M,beta,X$ non ci dispiace... )

Quello che sono riuscito a capire (forse) è che $D(A)$ (insieme di definizione dell'operatore $A$?) è fatto dalle funzioni che stanno in $X$ (che sarà uno spazio di Sobolev? o un $C^2$?) e verificano le condizioni di nullità della derivata parziale prima rispetto a $x$ sul bordo del quadrato $[0,1]^2$.

[in_me_i_trust]

Scusate se non l'ho messa nella sezione di Analisi è che ho visto che qui si parlava anche di gruppi e questo mi sembrava un argomento correlato

Allora vi chiarisco tutti i pezzi del problema. Con $X$ indico uno spazio di Banach, $M\geq 1$ e $M,\beta\in \mathbb(R)$. Si dice che un operatore $A$ appartiene alla famiglia $G(M,\beta,X)$ se soddisfa le seguenti condizioni:

a) il Dominio, $D(A)$, è un sottoinsieme lineare di $X$ ed è denso in $X$

b) $A$ è un operatore chiuso. (Si dice che un operatore $A$ con dominio $D(A)\subset X$ è chiuso e si scrive $A\in C(X)$ seil grafo di $A$, $G(A)$

$G(A)={(f,g):f\in D(A), g=Af}\subset Y$

è un sottoinsieme dello spazio di Banach $Y=X\times X$)

c) Esiste l'operatore $(zI-A)^(-1)$ ed appartiene a $B(X),\ \forall z>\beta$ ed è tale che:

$\|[(zI-A)^(-1)]^(r)\|\leq\frac(M)((z-\beta)^(r))\qquad\forall r=1,2,..$

(Si dice che $A\in B(X)$, che è la famiglia di tutti gli operatori lineari limitati, se $A$ è lineare e limitato con norma definita da

$\|A\| =$ $SUP$ $ {\frac(\|Af,X\|)(\|f,X\|)}, f\in X, \|f,X\|\ne 0$)

Ecco qua, io facevo riferimento al testo: ''Applied Semigroups and Evolution Equations'' e pensavo fosse una notazione comune, scusate ancora.