Logistica: errore soluzione per parti di eq. differenziale
Mi sono imbattuto nella funzione logistica.
E ho deciso di sgranchirmi un po' le gambe sulle equazioni differenziali.
Ma mi sono schiantato
Da wikipedia:
La logistica è funzione che risolve questa equazione differenziale (del primo ordine e non lineare) con P(t)
dP/dt = P · (1 − P) con P(0)=1/2
{che io crevedo di aver risolto così
P = t²·(1/2-t/3)+ cost }
In ecologia (applicazione che mi interessa) si usa
dP/dt = r· P · (1 − P/K) con P(0)=1/2
{provo la risoluzione seguendo il procedimento
dy/dx = f(x) --> dy = f(x)/dt --> ∫dy = ∫f(x)·dx --> y = F(x) + cost
∫dP = r· ∫P·(1−P/K)dt
con integrazione per parti di ∫P·(1−P/K)dt
∫P·(1−P/K)dt = t·(t²-t²/(2·K) - ∫t-t²/(2·K)dt
= t·(t²-t²/(2·K) - t²/2 - t³/(6·K) + cost
= t²·(1/2-t(3·K)) + cost
con P(0)=1/2 --> r·t²·(1/2-t(3·K)) + cost = 1/2 --> cost = 1/2 }
La mia soluzione (parlo ora del caso generale, in cui r=1=K )
P(t) = t²·(1/2-t(3)) + 1/2
non c'entra niente con la soluzione del sito P(t)= e^t/ (e^t + e^c)
Andrea
PS ovviamente ho sbagliato i calcoli, ma dove?
PPS mi scuso se non ho usato l'editor di formule, ma mi pare si capisca bene ugualmente...
E ho deciso di sgranchirmi un po' le gambe sulle equazioni differenziali.
Ma mi sono schiantato
Da wikipedia:
La logistica è funzione che risolve questa equazione differenziale (del primo ordine e non lineare) con P(t)
dP/dt = P · (1 − P) con P(0)=1/2
{che io crevedo di aver risolto così
P = t²·(1/2-t/3)+ cost }
In ecologia (applicazione che mi interessa) si usa
dP/dt = r· P · (1 − P/K) con P(0)=1/2
{provo la risoluzione seguendo il procedimento
dy/dx = f(x) --> dy = f(x)/dt --> ∫dy = ∫f(x)·dx --> y = F(x) + cost
∫dP = r· ∫P·(1−P/K)dt
con integrazione per parti di ∫P·(1−P/K)dt
∫P·(1−P/K)dt = t·(t²-t²/(2·K) - ∫t-t²/(2·K)dt
= t·(t²-t²/(2·K) - t²/2 - t³/(6·K) + cost
= t²·(1/2-t(3·K)) + cost
con P(0)=1/2 --> r·t²·(1/2-t(3·K)) + cost = 1/2 --> cost = 1/2 }
La mia soluzione (parlo ora del caso generale, in cui r=1=K )
P(t) = t²·(1/2-t(3)) + 1/2
non c'entra niente con la soluzione del sito P(t)= e^t/ (e^t + e^c)
Andrea
PS ovviamente ho sbagliato i calcoli, ma dove?
PPS mi scuso se non ho usato l'editor di formule, ma mi pare si capisca bene ugualmente...
Risposte
"ndrini":
PS ovviamente ho sbagliato i calcoli, ma dove?
PPS mi scuso se non ho usato l'editor di formule, ma mi pare si capisca bene ugualmente...
Risposte ai PS: 1) che metodo di soluzione hai usato? Quelle sono equazioni differenziali di Bernoulli visto che mi pare di capire, almeno per la prima, che è questa $P'=P-P^2$, o no?
2) Più o meno (e te lo dice uno che è talmente abituato al codice che vede il mondo come gli operatori di Marix!).... comunque non ci vuole molto: leggi qui come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html e ricordati di mettere il simbolo di dollaro all'inizio e alla fine del codice.
1) sì, proprio la soluzione di quell'equazione
2) test formula
\$(3/2-1)/(5/7+2/3)\$
....
non funziona
2) test formula
\$(3/2-1)/(5/7+2/3)\$
....
non funziona
2)Togli gli slash: solo i simboli di dollaro.
1) non ho capito che intendi.
1) non ho capito che intendi.
Ecco la mia prima equazione...
$(3/2-1)/(5/7+2/3)$
funzionaaaaaaaaaaaa
Tornando invece alla domanda originaria:
sbaglio se all'equazione differenziale che segue do come soluzione l'equazione P(t) = t²·(1/2-t/3) + cost ?
L'equazione differenziale è
$dP/dt = P · (1 − P)$ con P(0)=1/2
e secondo me ha la soluzione scritta sopra, mentre per il sito wikipedia ha come soluzione
$P(t)= (e^t)/ (e^t + e^c) $
il che mi fa credere di aver sbagliato
Como l'ho risolta io l'ho scritto nel primo post
Grazie.
Andrea
$(3/2-1)/(5/7+2/3)$
funzionaaaaaaaaaaaa
Tornando invece alla domanda originaria:
sbaglio se all'equazione differenziale che segue do come soluzione l'equazione P(t) = t²·(1/2-t/3) + cost ?
L'equazione differenziale è
$dP/dt = P · (1 − P)$ con P(0)=1/2
e secondo me ha la soluzione scritta sopra, mentre per il sito wikipedia ha come soluzione
$P(t)= (e^t)/ (e^t + e^c) $
il che mi fa credere di aver sbagliato
Como l'ho risolta io l'ho scritto nel primo post
Grazie.
Andrea
Dunque, vedo di risolvere il problema generale: l'equazione se ho capito bene è questa:
$P'=rP(1-P/k)$ che si può riscrivere al modo seguente $P'-rP=-r/k P^2$ con condizione iniziale $P(0)=1/2$.
Ora, per risolvere, poniamo $P=y^{-1}$ da cui $P'=-y^{-2} y'$ e pertanto l'equazione diventa
$-y^{-2} y'-r y^{-1}=-r/k y^{-2}$ da cui, moltiplicando per $-y^2$, $y'+ry=r/k$ e condizione iniziale $y(0)=2$.
Adesso, quella ottenuta è una equazione lineare con $a(t)=r,\ b(t)=r/k$ e pertanto, essendo
$A(t)=\int a(t)\ dt=rt,\qquad \int b(t) e^{A(t)}\ dt=\int r/k \cdot e^{rt}\ dt=1/k\ e^{rt}$
si ha
$y=e^{-A(t)}[\int b(t) e^{A(t)}\ dt+c]=e^{-rt}[{e^{rt}}/k+c]$
Per determinare $c$, dalla condizione iniziale abbiamo $2=1/k +c$ e pertanto $c=2-1/k$ e ne segue che
$y(t)=1/k+(2-1/k)e^{-rt}={1+(2k-1)e^{-rt}}/{k}={e^{rt}+(2k-1)}/{k e^{rt}}$
Infine, ritornando alla funzione originale abbiamo
$P(t)=\frac{k e^{rt}}{e^{rt}+(2k-1)}$
Per $r=1,\ k=1$ la soluzione diventa $P(t)={e^t}/{e^t+1}$.
$P'=rP(1-P/k)$ che si può riscrivere al modo seguente $P'-rP=-r/k P^2$ con condizione iniziale $P(0)=1/2$.
Ora, per risolvere, poniamo $P=y^{-1}$ da cui $P'=-y^{-2} y'$ e pertanto l'equazione diventa
$-y^{-2} y'-r y^{-1}=-r/k y^{-2}$ da cui, moltiplicando per $-y^2$, $y'+ry=r/k$ e condizione iniziale $y(0)=2$.
Adesso, quella ottenuta è una equazione lineare con $a(t)=r,\ b(t)=r/k$ e pertanto, essendo
$A(t)=\int a(t)\ dt=rt,\qquad \int b(t) e^{A(t)}\ dt=\int r/k \cdot e^{rt}\ dt=1/k\ e^{rt}$
si ha
$y=e^{-A(t)}[\int b(t) e^{A(t)}\ dt+c]=e^{-rt}[{e^{rt}}/k+c]$
Per determinare $c$, dalla condizione iniziale abbiamo $2=1/k +c$ e pertanto $c=2-1/k$ e ne segue che
$y(t)=1/k+(2-1/k)e^{-rt}={1+(2k-1)e^{-rt}}/{k}={e^{rt}+(2k-1)}/{k e^{rt}}$
Infine, ritornando alla funzione originale abbiamo
$P(t)=\frac{k e^{rt}}{e^{rt}+(2k-1)}$
Per $r=1,\ k=1$ la soluzione diventa $P(t)={e^t}/{e^t+1}$.
Super cimpax,
grazie di cuore.
Io pure, come dicevo, molto arrugginnito sulle equazioni differenziali, grazie ai tuoi passaggi estremamente completi, ho seguito passo passo la rimostrazione, capendola bene.
Però mi rimane un unico dobbio:
se è certo che la "tua" soluzione è giusta, si può anche dire che la mia sia sbagliata?
Dato che mi pare di aver seguito le regole matematiche, mi sarei aspettato di arrivare allo stesso risultato, ... ed invece no !?!
grazie di cuore.
Io pure, come dicevo, molto arrugginnito sulle equazioni differenziali, grazie ai tuoi passaggi estremamente completi, ho seguito passo passo la rimostrazione, capendola bene.
Però mi rimane un unico dobbio:
se è certo che la "tua" soluzione è giusta, si può anche dire che la mia sia sbagliata?
Dato che mi pare di aver seguito le regole matematiche, mi sarei aspettato di arrivare allo stesso risultato, ... ed invece no !?!
Vediamo un po': tu risolvi separando le variabili, per cui scrivi
$\int k/{rP(k-P)}\ dP=t+c$
Tu invece lasci le $P$ dall'altra parte e tutto ciò non ha senso!
$\int k/{rP(k-P)}\ dP=t+c$
Tu invece lasci le $P$ dall'altra parte e tutto ciò non ha senso!
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