Logaritmo con Taylor
Ciao, ho un ultimo dubbio riguardo la risoluzioni dei limiti con gli sviluppi di Taylor.
Conosco lo sviluppo del logaritmo, ma in alcuni casi non so come comportarmi soprattutto in relazione agli o piccoli.
Se mi trovo ad esempio a dover sviluppare $log(1+x+x^2)$ so che dovrei vedere $x+x^2 = t$ e sviluppare di conseguenza. Quando però lo trovo in un limite con altri termini, se non posso effettuare la sostituzione per tutti, lo riconsidero come ($o(x+x^2)^n)$) che non ho idea di come trattare. Se ad esempio è un quadrato o un cubo dovrei svilupparlo e considerare il termine con grado maggiore? E se fosse n=4 o n=5 o ancora maggiore, cosa dovrei fare?
Ad esempio qui, nel primo esercizio(non è un limite ma è comunque una situazione simile):
http://www.mat.uniroma2.it/~castorin/So ... 022014.pdf
Soffermandosi sullo sviluppo del logaritmo, come fa a fermarsi al terzo grado per i vari elementi dello sviluppo? Se sviluppasse il cubo di $(x+x^2)$ risulterebbe come termine più grande un $x^6$, anche considerando che l'ordine richiesto è $n=5$ dallo sviluppo di quel cubo uscirebbe anche un termine alla quinta almeno...
Partendo da questo caso che è l'unico che ho trovato in giro.
Peggio ancora se si tratta di un limite vero e proprio, in cui non vi è specificato un ordine e quindi in mancanza di cambiamento di variabile per altri termini non saperei dove mettere le mani.
Conosco lo sviluppo del logaritmo, ma in alcuni casi non so come comportarmi soprattutto in relazione agli o piccoli.
Se mi trovo ad esempio a dover sviluppare $log(1+x+x^2)$ so che dovrei vedere $x+x^2 = t$ e sviluppare di conseguenza. Quando però lo trovo in un limite con altri termini, se non posso effettuare la sostituzione per tutti, lo riconsidero come ($o(x+x^2)^n)$) che non ho idea di come trattare. Se ad esempio è un quadrato o un cubo dovrei svilupparlo e considerare il termine con grado maggiore? E se fosse n=4 o n=5 o ancora maggiore, cosa dovrei fare?
Ad esempio qui, nel primo esercizio(non è un limite ma è comunque una situazione simile):
http://www.mat.uniroma2.it/~castorin/So ... 022014.pdf
Soffermandosi sullo sviluppo del logaritmo, come fa a fermarsi al terzo grado per i vari elementi dello sviluppo? Se sviluppasse il cubo di $(x+x^2)$ risulterebbe come termine più grande un $x^6$, anche considerando che l'ordine richiesto è $n=5$ dallo sviluppo di quel cubo uscirebbe anche un termine alla quinta almeno...
Partendo da questo caso che è l'unico che ho trovato in giro.
Peggio ancora se si tratta di un limite vero e proprio, in cui non vi è specificato un ordine e quindi in mancanza di cambiamento di variabile per altri termini non saperei dove mettere le mani.
Risposte
Davanti a $ln(1+x+x^2)$ hai un $x^2$ che lo moltiplica, quindi lo sviluppo di $ln(1+x+x^2)$ NON deve andare oltre il terzo grado, infatti qualsiasi $o(x+x^2)^3$ è almeno di grado $4$, quindi non serve dato che moltiplicato per $x^2$ darebbe un grado $6$.
Per prima cosa devi porre $x^2ln(1+x+x^2)=t$ e poi hai quindi $e^t=1+t+t^2/2+...$
Il testo ti dice quindi che $e^t$ deve essere sviluppato fino al quinto ordine, pertanto dato che $e^t=1+t+..$ si ha che $t$ deve essere sviluppato fino al quinto ordine, e quindi come già detto ln(1+x+x^2) deve di conseguenza essere sviluppato fino al terzo ordine
Per prima cosa devi porre $x^2ln(1+x+x^2)=t$ e poi hai quindi $e^t=1+t+t^2/2+...$
Il testo ti dice quindi che $e^t$ deve essere sviluppato fino al quinto ordine, pertanto dato che $e^t=1+t+..$ si ha che $t$ deve essere sviluppato fino al quinto ordine, e quindi come già detto ln(1+x+x^2) deve di conseguenza essere sviluppato fino al terzo ordine
"Vulplasir":
Davanti a $ln(1+x+x^2)$ hai un $x^2$ che lo moltiplica, quindi lo sviluppo di $ln(1+x+x^2)$ NON deve andare oltre il terzo grado, infatti qualsiasi $o(x+x^2)^3$ è almeno di grado $4$, quindi non serve dato che moltiplicato per $x^2$ darebbe un grado $6$.
Per prima cosa devi porre $x^2ln(1+x+x^2)=t$ e poi hai quindi $e^t=1+t+t^2/2+...$
Il testo ti dice quindi che $e^t$ deve essere sviluppato fino al quinto ordine, pertanto dato che $e^t=1+t+..$ si ha che $t$ deve essere sviluppato fino al quinto ordine, e quindi come già detto ln(1+x+x^2) deve di conseguenza essere sviluppato fino al terzo ordine
Ok per quell'esercizio ci sono, grazie.
Ti posto invece questo, che è un limite vero e proprio:
Calcolare il seguente limite di funzione:
$\lim_{x \to \0} (e^(x^2-x) - cos(sqrt(2x))) / (log(1+2x-x^2) - 2log(1+x+x^2))$
Sviluppo al numeratore: $1+x^2-x+((x^2-x)^2)/2 - 1 + x - x^2/6 + o(x^2-x)^2$
Al denominatore: $2x - x^2 - (2x - x^2)^2/2 - 2x - 2x^2 + (x+x^2)^2/2 + o(x + x^2)^2$
Ora, quando devo sviluppare i quadrati di binomi lasciati in sospeso, devo arrivare fino a che grado della x?
Tramite gli o piccoli che ho scritto io, dovrei svilupparlo tutto in quanto non includerebbero nulla di quello ne uscirebbe fuori...
Devi arrivare fino al grado che ti fa avere qualcosa di diverso da zero. Al numeratore vedi come 1 e -1 si eliminino tra loro, x e -x si eliminano, quindi devi sviluppare i binomi per vedere se anche tutti gli x^2 si eliminano tra loro, se non si eliminano allora termini lo sviluppo a x^2, se invece si eliminano prosegui con x^3 e così via...insomma fino a che ottieni qualcosa di diverso da zero.
Vedi qui: viewtopic.php?f=36&t=157161
Vedi qui: viewtopic.php?f=36&t=157161
"Vulplasir":
Devi arrivare fino al grado che ti fa avere qualcosa di diverso da zero. Al numeratore vedi come 1 e -1 si eliminino tra loro, x e -x si eliminano, quindi devi sviluppare i binomi per vedere se anche tutti gli x^2 si eliminano tra loro, se non si eliminano allora termini lo sviluppo a x^2, se invece si eliminano prosegui con x^3 e così via...insomma fino a che ottieni qualcosa di diverso da zero.
Vedi qui: viewtopic.php?f=36&t=157161
I termini al quadrato effettivamente non mi pare si annullino, calcolando solo quelli (quindi un termine solo per ogni quadrato rimasto in sospeso) e omettendo gli altri perché o piccoli mi verrebbe:
$ \lim_{x \to \0} (x^2 + x^2/2 - x^2/6 + o(x^2)) / (-x^2 - 2x^2 - 2x^2 + x^2/2 + o(x^2)) = (4/3x^2) / (-9/2x^2) = -8/27$
Ma secondo Wolframalpha dovrebbe fare $-1/3$, non capisco se manca qualcosa, mi pare di aver rispettato segni e altro
Hai dimenticato di moltiplicare per 2 lo sviluppo del termine quadratico del secondo logaritmo al denominatore
"Vulplasir":
Hai dimenticato di moltiplicare per 2 lo sviluppo del termine quadratico del secondo logaritmo al denominatore
Grazie!
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