Logaritmo complesso
Salve forum,
volevo chiedervi se posso abusare ancora una volta del vostro tempo
Utilizzando il teorema dei residui calcolare a scelta uno dei seguenti integrali :
$int_0^{pi/4} ((d\theta)/(2- sen(8\theta))^2)$ $int_{-\infty}^{+\infty}((e^x)/(4e^(4x) +12e^(2x) +9))dx$.
All'inizio avevo pensato che potevo fare il primo però escono calcoli abbastanza complicati(usando $sen(8\theta) =( z^8 - z^(-8))/(2i)$) e quindi ho desistito(almeno per oggi)...
Mentre sono incappato in un problema concettuale sul secondo integrale: Dovendo cercare le singolarità della funzione integranda, mi sono trovato a risolvere $4e^(4z) +12e^(2z) +9 = 0 $, ho posto $e^(2z) = y$, da cui ho avuto che la radice è $y=-3/2$ con molteplicità algebrica =2..Ora quindi avrei $e^(2z)=-3/2$, dacchè, riguardando la teoria, ho appreso che $2z = ln|-3/2| + i(artg(-3/2) +2kpi)$ solo che adesso (sempre se ho ragionato in maniera corretta), avrei k zeri della mia funzione, in questo caso..però devo considerare solo quelli con la i positiva, quindi impongo che $k> (- artg(-3/2))/(2pi) $.
giusto? Però scusate in questo modo comunque ne avrei infiniti no?(dato che K deve essere maggiore di un certo numero negativo)...
E quindi voi che mi consigliate?
Grazie a tutti!
Ciao!
volevo chiedervi se posso abusare ancora una volta del vostro tempo
Utilizzando il teorema dei residui calcolare a scelta uno dei seguenti integrali :
$int_0^{pi/4} ((d\theta)/(2- sen(8\theta))^2)$ $int_{-\infty}^{+\infty}((e^x)/(4e^(4x) +12e^(2x) +9))dx$.
All'inizio avevo pensato che potevo fare il primo però escono calcoli abbastanza complicati(usando $sen(8\theta) =( z^8 - z^(-8))/(2i)$) e quindi ho desistito(almeno per oggi)...
Mentre sono incappato in un problema concettuale sul secondo integrale: Dovendo cercare le singolarità della funzione integranda, mi sono trovato a risolvere $4e^(4z) +12e^(2z) +9 = 0 $, ho posto $e^(2z) = y$, da cui ho avuto che la radice è $y=-3/2$ con molteplicità algebrica =2..Ora quindi avrei $e^(2z)=-3/2$, dacchè, riguardando la teoria, ho appreso che $2z = ln|-3/2| + i(artg(-3/2) +2kpi)$ solo che adesso (sempre se ho ragionato in maniera corretta), avrei k zeri della mia funzione, in questo caso..però devo considerare solo quelli con la i positiva, quindi impongo che $k> (- artg(-3/2))/(2pi) $.
giusto? Però scusate in questo modo comunque ne avrei infiniti no?(dato che K deve essere maggiore di un certo numero negativo)...
E quindi voi che mi consigliate?
Grazie a tutti!
Ciao!
Risposte
Il primo si fa così:
$int_0^(pi/4) ("d" theta)/([2-sin(8 theta)]^2)=oint_(|z|=1)(("d"z)/(iz))/([2-((z^8-z^(-8))/(2i))]^2)=4i oint_(|z|=1) (z^15)/((z^16 - 4iz^8 - 1)^2) "d"z$.
Per trovare le radici del polinomio a denominatore tieni conto che puoi sostituire $z^8$ con $t$ ecc. ecc.
$int_0^(pi/4) ("d" theta)/([2-sin(8 theta)]^2)=oint_(|z|=1)(("d"z)/(iz))/([2-((z^8-z^(-8))/(2i))]^2)=4i oint_(|z|=1) (z^15)/((z^16 - 4iz^8 - 1)^2) "d"z$.
Per trovare le radici del polinomio a denominatore tieni conto che puoi sostituire $z^8$ con $t$ ecc. ecc.
Si, mi trovo con te, in effetti ho desistito perchè i calcoli non sono proprio tra i più agevoli 
(però si possono fare tranquillamente), mentre non ho capito bene la faccenda del secondo integrale..
(però si possono fare tranquillamente), mentre non ho capito bene la faccenda del secondo integrale..
Risolvendo ottengo $z=1/2 [i pi +2 i pi k+ln (3/2)]$, quindi per $k>=0$ le (infinite) singolarità stanno sul semipiano $"Im"[z]>0$. L'integrale si dovrebbe calcolare come una somma di residui.
Ah quindi deduco che la formula prevedeva l'argomento di -3/2, non l'arcotangente. OK...
Solo una cosa...questa somma di residui come la calcolo ? Cioè in classe non abbiamo mai fatto qualcosa del genere...se mi spiegassi te ne sarei molto lieto.
Ah poi per il primo integrale, se ho fatto bene, applicando De Moivre, mi vengono qualcosa come 16 residui e tutti con parte immaginaria positiva! Quindi devo calcolarmi 16 residui ? Ditemi di no per piacere ;D
Solo una cosa...questa somma di residui come la calcolo ? Cioè in classe non abbiamo mai fatto qualcosa del genere...se mi spiegassi te ne sarei molto lieto.
Ah poi per il primo integrale, se ho fatto bene, applicando De Moivre, mi vengono qualcosa come 16 residui e tutti con parte immaginaria positiva! Quindi devo calcolarmi 16 residui ? Ditemi di no per piacere ;D
"FireXl":
Ah quindi deduco che la formula prevedeva l'argomento di -3/2, non l'arcotangente. OK...
Solo una cosa...questa somma di residui come la calcolo ? Cioè in classe non abbiamo mai fatto qualcosa del genere...se mi spiegassi te ne sarei molto lieto.
Ah poi per il primo integrale, se ho fatto bene, applicando De Moivre, mi vengono qualcosa come 16 residui e tutti con parte immaginaria positiva! Quindi devo calcolarmi 16 residui ? Ditemi di no per piacere ;D
Per il primo: prova a calcolare il residuo associato alla k-esima singolarità $z_k$. Puoi trovare una serie di semicerchi di raggio tendente all'infinito tali che l'integrale su questi cerchi vada a zero per il lemma di Jordan. Poi puoi scrivere il risultato come somma dei residui associati a queste singolarità: $2 pi i sum_(k=0)^(oo) "Res"[f(z),z_k]$.
Per il secondo: le soluzioni non sono solo 16, ma... 32!!
Però occhio: ciò che conta non è la positività della parte immaginaria, ma il fatto che $|z_k|<1$, perchè stai facendo l'integrale sull'insieme $C={z in CC : |z|=1}$.
Scusa ma non era per il primo integrale che si doveva avere |z| < 1 ?(in generale per quelli trigonometrici ?) Io sapevo che per questi tipi di integrali è richiesto Imm(z)>0...Sto andando leggermente in confusione 
Cmq per il primo integrale ho capito a metà...quando hai un po d tempo potresti farmi un esempio pratico per piacere?(Capisco che oggi è la viglia e vuoi stare tranquillo )
Cmq per il primo integrale ho capito a metà...quando hai un po d tempo potresti farmi un esempio pratico per piacere?(Capisco che oggi è la viglia e vuoi stare tranquillo
)
Ehm si scusa, quello per somma infinita di residui è il secondo, il primo è quello trigonometrico. Comunque non è vero che in quelli trigonometrici devi prendere $"Im"[z]>0$, scusa i residui vanno calcolati per tutte le singolarità all'interno del cerchio.
Un integrale trigonometrico (più altri tipi) svolto lo trovi qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration
Un integrale trigonometrico (più altri tipi) svolto lo trovi qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration
E dopo il mio bel cenone ti ringrazio delle tue risposte,
Cmq non ci eravamo capiti: io intendevo dire che per quelli trigonometrici si devono considerare gli zeri con modulo minore di uno, mentre per quelli come il secondo da me proposto si dovevano considerare quelli appartenenti al semipiano positivo immaginario
In ogni caso Grazie e Buon Natale!
Ciao!
Cmq non ci eravamo capiti: io intendevo dire che per quelli trigonometrici si devono considerare gli zeri con modulo minore di uno, mentre per quelli come il secondo da me proposto si dovevano considerare quelli appartenenti al semipiano positivo immaginario
In ogni caso Grazie e Buon Natale!
Ciao!
Ah cmq per i posteri, vorrei postare le conclusioni a cui sono arrivato:
Per il primo integrale risulta molto utile la sostituzione $8\theta = t$, mentre per il secondo integrale conviene fare il cambio di variabile : $e^(z) = t$.
In questo modo i calcoli escono più semplici, e specialmente nel secondo si hanno non infiniti residui ma "solo" 4.
Ciao!
Per il primo integrale risulta molto utile la sostituzione $8\theta = t$, mentre per il secondo integrale conviene fare il cambio di variabile : $e^(z) = t$.
In questo modo i calcoli escono più semplici, e specialmente nel secondo si hanno non infiniti residui ma "solo" 4.
Ciao!
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