Logaritmi

[cicciapallina]

Ciao a tutti!

Se $p$ e $q$ sono numeri reali positivi tali che
$log_9(p)=log_12(q)=log_16(p+q)$
Come faccio a trovare il valore di $q/p$?

[Brancaleone1]

Ciao
Non vorrei dire una fesseria ma al massimo puoi trovare il valore del rapporto tra i due logaritmi:

$log_9(p)=log_12(q)=log_16(p+q)$

$ln(p)/ln(9)=ln(q)/ln(12)=ln(p+q)/ln(16)$

e dai primi due membri si ottiene

$ln(p)/ln(q)=ln(9)/ln(12)=0,884...$

[@melia]

Posto $log_9(p)=log_12(q)=log_16(p+q)=x$ ottieni

$p=9^x$
$q=12^x$
$p+q=16^x$[/list:u:1kx5nsfy]
Ma dalle prime due equazioni ricavi anche che $p+q=9^x + 12^x$, quindi l'esercizio si riduce nella soluzione di un'equazione esponenziale:
$9^x + 12^x = 16^x$ che, dividendo tutto per $9^x$ dà $(4/3)^(2x)-(4/3)^x-1=0$, il seguito è semplice, anche se i calcoli sono bruttini.

[onlyReferee]

@ @amelia: sì, di fatto poi si tratta di risolvere quell'equazione esponenziale (mediante una semplice sostituzione). Non sono poi così tanto rognosi come sembrano i calcoli (almeno non mi è sembrato).

[@melia]

Quando fa caldo i calcoli mi sembrano sempre brutti.

[onlyReferee]

A maggior ragione quando è sera tardi .