Log(1+x)
Non riesco a dimostrare questa disuguaglianza:
x-($x^2$)/2
Sapreste aiutarmi per favore?
Grazie...
x-($x^2$)/2
Sapreste aiutarmi per favore?
Grazie...
Risposte
uhm... la potresti scrivere un po' meglio per favore?
se sviluppassi in serie di Taylor? Per $|x|<1$, $log(1+x)=sum_{n=0}^\infty((-1)^(n-1))/(n)x^n$. I primi due termini sono quelli a sinistra, i primi tre quelli a destra della tua disuguaglianza. Tocca vedere che i termini restanti sono sempre negativi(per la disuguaglianza con $<$) o positivi (per quella con $>$).
Oppure puoi fare così: prendi la funzione $log\ (1+x)-x+(x^2)/(2)$. Per $x=0$ questa funzione si annulla. Calcoliamo la derivata prima, che è $1/(1+x)-1+x=(1-1-x+x+x^2)/(1+x)=x^2/(1+x)$ che come vedi è sempre positiva per $x>-1$ (che poi è l'insieme di definizione di $log\ (1+x)$). Perciò la funzione $log\ (1+x)-x+(x^2)/(2)$ è strettamente crescente e quindi (per $x>0$) la disuguaglianza di sinistra è verificata. Doveva essere valida anche per altri valori di $x$? Se è così forse ho sbagliato qualche conto. Comunque il concetto è questo, spero di essere stato chiaro.
Oppure puoi fare così: prendi la funzione $log\ (1+x)-x+(x^2)/(2)$. Per $x=0$ questa funzione si annulla. Calcoliamo la derivata prima, che è $1/(1+x)-1+x=(1-1-x+x+x^2)/(1+x)=x^2/(1+x)$ che come vedi è sempre positiva per $x>-1$ (che poi è l'insieme di definizione di $log\ (1+x)$). Perciò la funzione $log\ (1+x)-x+(x^2)/(2)$ è strettamente crescente e quindi (per $x>0$) la disuguaglianza di sinistra è verificata. Doveva essere valida anche per altri valori di $x$? Se è così forse ho sbagliato qualche conto. Comunque il concetto è questo, spero di essere stato chiaro.
Il secondo metodo va bene!
Grazie mille dissonance!
Grazie mille dissonance!
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