Localmente integrabile
Salve 
il mio dubbio è sulle funzini localmente integrabili in $L^1_loc(RR)$, che dovrebbero essere un importante spazio di funzioni che inducono distribuzioni regolari, ad esempio $f(x)=x$ lo è, l'integrale è finito su ogni compatto che scelgo, mentre non lo è su tutto $RR$, ma non capisco perchè prendessi un chiuso abbastanza grande l'integrale sarrebbe molto più grande e quindi non in $L^1$, qual è la linea di demarcazione allora. Scusate per la domanda stupida sono un neofita, vi ringrazio anticipatamente.
il mio dubbio è sulle funzini localmente integrabili in $L^1_loc(RR)$, che dovrebbero essere un importante spazio di funzioni che inducono distribuzioni regolari, ad esempio $f(x)=x$ lo è, l'integrale è finito su ogni compatto che scelgo, mentre non lo è su tutto $RR$, ma non capisco perchè prendessi un chiuso abbastanza grande l'integrale sarrebbe molto più grande e quindi non in $L^1$, qual è la linea di demarcazione allora. Scusate per la domanda stupida sono un neofita, vi ringrazio anticipatamente.
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Non capisco la domanda, comunque...
La funzione [tex]$f(x)=x$[/tex] è in [tex]$L_{loc}^1(\mathbb{R})$[/tex]: infatti, comunque si scelga un compatto [tex]$K\subseteq \mathbb{R}$[/tex], esiste un intervallo [tex]$[a,b]$[/tex] tale che [tex]$K\subseteq [a,b]$[/tex] e quindi:
[tex]$\int_K |x| \text{d} x \leq \int_a^b |x|\text{d} x <+\infty$[/tex]
e tanto basta, per la stessa definizione di funzione localmente sommabile.
Lo spazio [tex]$L_{loc}^1(\mathbb{R})$[/tex] è abbastanza grande: infatti contiene [tex]$C(\mathbb{R})$[/tex] (cosa non vera se al posto di [tex]$L_{loc}^1(\mathbb{R})$[/tex] si considera [tex]$L^1(\mathbb{R})$[/tex]); tuttavia non contiene tutte le funzioni reali, poiché ad esempio:
[tex]$u(x):=\begin{cases} \frac{1}{x^2} &\text{, se $x\neq 0$} \\ 0 &\text{, se $x=0$}\end{cases}$[/tex]
non sta in [tex]$L_{loc}^1(\mathbb{R})$[/tex] (poichè l'integrale di [tex]$|u|$[/tex] esteso al compatto [tex]$[-1,1]$[/tex] non è finito).
La funzione [tex]$f(x)=x$[/tex] è in [tex]$L_{loc}^1(\mathbb{R})$[/tex]: infatti, comunque si scelga un compatto [tex]$K\subseteq \mathbb{R}$[/tex], esiste un intervallo [tex]$[a,b]$[/tex] tale che [tex]$K\subseteq [a,b]$[/tex] e quindi:
[tex]$\int_K |x| \text{d} x \leq \int_a^b |x|\text{d} x <+\infty$[/tex]
e tanto basta, per la stessa definizione di funzione localmente sommabile.
Lo spazio [tex]$L_{loc}^1(\mathbb{R})$[/tex] è abbastanza grande: infatti contiene [tex]$C(\mathbb{R})$[/tex] (cosa non vera se al posto di [tex]$L_{loc}^1(\mathbb{R})$[/tex] si considera [tex]$L^1(\mathbb{R})$[/tex]); tuttavia non contiene tutte le funzioni reali, poiché ad esempio:
[tex]$u(x):=\begin{cases} \frac{1}{x^2} &\text{, se $x\neq 0$} \\ 0 &\text{, se $x=0$}\end{cases}$[/tex]
non sta in [tex]$L_{loc}^1(\mathbb{R})$[/tex] (poichè l'integrale di [tex]$|u|$[/tex] esteso al compatto [tex]$[-1,1]$[/tex] non è finito).
d'accordo, quindi per esempio, $f(x)=x^2$ è in $L^1loc([-1,1])$ ma non in $L^1loc(RR)$,
[ mi confondeva il fatto stupido che le funzioni continue (con ordine di infinito anche >1) su piccoli compatti potessero essere avere integrale finito su piccoli compatti.] grazie!!
[ mi confondeva il fatto stupido che le funzioni continue (con ordine di infinito anche >1) su piccoli compatti potessero essere avere integrale finito su piccoli compatti.] grazie!!
"puretone":
d'accordo, quindi per esempio, $f(x)=x^2$ è in $L^1loc([-1,1])$ ma non in $L^1loc(RR)$
"gugo82":
Lo spazio [tex]$L_{loc}^1(\mathbb{R})$[/tex] è abbastanza grande: infatti contiene [tex]$C(\mathbb{R})$[/tex] (cosa non vera se al posto di [tex]$L_{loc}^1(\mathbb{R})$[/tex] si considera [tex]$L^1(\mathbb{R})$[/tex])
@puretone: Leggi bene quello che ho scritto, please. 
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