Lo svolgimento di questo limite è corretto?

[Blitzcrank97]

Salve, ho svolto questo esercizio sulle successioni

$\lim_{n \to \+infty} (n^2*log n + n)/log (3n)$

nel modo seguente e vorrei solo sapere se lo svolgimento risulta corretto o ho fatto qualche cavolata dato che sono molto distratto, arrivo al risultato finale ma non so se il procedimento è giusto:

scrivo $log (3n)$ come $log 3 + log n$

$\lim_{n \to \+infty} (n^2*log n + n)/(log 3 + log n)$

poi raccolgo per la potenza maggiore

$\lim_{n \to \+infty} (n^2*log n ( 1 + n/(n^2*log n)))/(log n (log 3/log n + 1)$

Quindi ottengo
$\lim_{n \to \+infty} (n^2*log n )/log n$
e infine
$\lim_{n \to \+infty} n^2$

che perciò tende a infinito, è corretto?

[Mephlip]

Corretto! Però c'è un'imprecisione: devi portarti dietro le parentesi fino alla fine, non si va al limite a pezzi.
Voglio dire, non puoi dire "queste frazioni tendono a $0$ quindi le sostituisco con $0$", devi portartele dietro e farle tendere a $0$ insieme al resto, che tenderà dove deve tendere