Lo strano caso di $|\sin x|-\sin x$

[Plepp]

Salve ragazzi
Qualche tempo fa, mentre preparavo Analisi I, svolsi per esercizio una traccia d'appello della mia prof, ed in particolare risolsi questo esercizio:

Sia $f:RR\rightarrow RR$ una funzione continua e tale che $f(x)\geq 0$ per ogni $x\in RR$ e sia
\[F(x)=\int\limits_{x_0}^{x}f(t)dt\qquad \forall x\geq x_0 \]
Discutere, al variare di $k\in RR$, estistenza e molteplicità delle soluzioni dell'equazione
\[F(x)=k \qquad \qquad (\star)\]

Allego lo svolgimento (risale ad un po' di tempo fa, per cui mi scuso se in qualche punto sono stato impreciso )

Per le proprietà di positività e monotonìa dell'integrale, si ha
\[f(x)\geq 0 \quad \forall x\in\mathbf{R}\implies \int\limits_{x_0}^{x}f(t)dt\geq 0\]
pertanto $F(x)\geq 0$ per ogni $x \geq x_0$. Questo ci permette di stabilire a priori che l'equazione $(\star)$ non ammette alcuna soluzione per $k<0$.
Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha
\[F'(x)=f(x) \qquad \forall x\geq x_0\]
quindi, essendo $f(x)\geq 0$, allora F'(x)$\geq 0$ per $x \geq x_0$, ossia $F$ è monotòna crescente.
Infine, essendo $f(x)$ continua, allora $F(x)$ è derivabile con continuità, dunque continua.
A questo punto occorre distinguere vari casi:
(a) nel caso che $f(x)\equiv 0$, si ha che $F(x)\equiv 0$, cioè l'equazione $(\star)$ ammette infinite soluzioni per $k=0$ e nessuna soluzione per $k\ne 0$;
(b) supponendo invece $f(x)$ non identicamente nulla, dal momento che le ipotesi non garantiscono la monotonìa stretta di $F(x)$, nulla si può dire sulle soluzioni dell'equazione $(\star)$, se non che esse saranno infinite in quei tratti in cui $F(x)$ è costante (ossia quando $f(x)=0$) e vale, appunto, $k\geq 0$;
(c) supponendo, infine, $f(x)$ strettamente positiva, si avrà che $F(x)$ sarà strettamente crescrente e continua per $x\geq x_0$: pertanto, per $k>0$, l'equazione $(\star)$ ammetterà una ed una sola soluzione.
In ciascuno dei casi (b) e (c), per $k=0$ l'equazione $(\star)$ ammette la soluzione $x=x_0$, unica nell'ultimo caso.

Una volta terminato l'esercizio, pensai di fare un esempio per uno dei vari casi che andavano discussi (in particolare il caso B). Pensai alla funzione
\[g(x)=|\sin(x)|-\sin(x)\]
Si ha che $g$, palesemente continua in $RR$, è nulla per $\sin x \geq 0$, mentre varia tra $0$ e $2$ quando $\sin x <0$. In base alle considerazioni fatte nello svolgimento, mi aspettavo che la sua funzione integrale $F(x)$ fosse sempre non negativa, e costante in quei tratti in cui $g(x)=0$.
Senonché, non mi sarei mai sognato di scrivere questa cosa senza prima verificarla Cercai ("a mano", senza l'aiuto del computer) innanzitutto una primitiva di $g(x)$, e trovai (Wolfram me l'ha confermato in seguito)
\[G(x)=\cos(x)-\cos(x)\text{sign}(\sin(x))\]
Da cui calcolai la funzione integrale $F(x)$. Dall'espressione analitica ottenuta notai subito che c'era qualcosa che non andava infatti, disegnando il grafico di $F(x)$ con gli appositi software, si osservava che $F$ assumeva (per $x \geq x_0$, con $x_0$ "a piacere") periodicamente valori negativi. E questo era in contrasto con le considerazioni fatte in precedenza.

Quindi mi chiedo: dov'è l'errore? Nel calcolo della primitiva (in questo caso avrebbe sbagliato anche Wolfram, cosa che non accade molto raramente ) nelle ipotesi fatte sulla funzione $g(x)$, nelle mie considerazioni, o altro?

Le mie considerazioni dovrebbero essere esatte, anche perchè all'esercizio ci diede un'occhiata l'assistente del mio prof. di Analisi II (anche se molto velocemente!).
Le ipotesi sulla funzione $g$ mi sembrano pure corrette: è una funzione integrabile, in quanto continua, per cui sono verificate le ipotesi del teorema fondamentale del calcolo.

Vi prego di illuminarmi Ciao, e grazie in anticipo per le risposte!

Giuseppe

P.S. Calcolando una primitiva $G_1$ di $g(x)$ con Derive6 anzichè con Mathematica, trovo che
\[G_1(x)=G(x)+(\text{parte intera di non ricordo cosa})\]
"Usando" questa primitiva $G_1$ anzichè $G$ nel calcolare $F(x)$, i conti tornano! Infatti $F(x)$ si comporta proprio come ho descritto nel punto (b) dello svolgimento.
Ma non capisco da dove esca fuori quella parte intera, se non da qualche metodo di approssimazione del software...boh

[gugo82]

Questo è un errore enorme:

"Plepp":Per le proprietà di positività e monotonìa dell'integrale, si ha
\[
f(x)\geq 0 \quad \forall x\in\mathbf{R}\implies \int\limits_{x_0}^{x}f(t)dt\geq 0
\]
pertanto $F(x)\geq 0$ per ogni $x \geq x_0$. Questo ci permette di stabilire a priori che l'equazione $(\star)$ non ammette alcuna soluzione per $k<0$.

di cui l'assistente avrebbe dovuto accorgersi subito, così come avrebbe dovuto notarlo lo studente, ormai maturo: insomma, stai tacitamente supponendo che \(F\) non sia definita in \(]-\infty ,x_0]\), cosa che non ha alcuna giustificazione teorica.

La funzione \(F\) è crescente in \(\mathbb{R}\), strettamente in ogni intervallo in cui \(f\) non è identicamente nulla; è nonnegativa per \(x\geq x_0\) e nonpositiva in \(x\leq x_0\); è limitata superiormente solo se \(f\) è impropriamente integrabile in \([x_0,\infty[\) e limitata inferiormente solo se \(f\) è impropriamente integrabile in \(]-\infty ,x_0]\).

La risolubilità di \(F(x)=k\) dipende da parecchie proprietà dell'integrando, quindi, e non è cosa semplice da studiare in generale.

[Plepp]

Ma scusa Gugo, la funzione $F(x)$ viene definita solo per $x\geq x_0$, per cui...
Anche perchè altrimenti, come giustamente dici, sarebbe un vero macello risolvere l'esercizio!

[DajeForte]

Secondo me potresti fare un po meglio la analisi discriminando in k.
Come dici se k<0 non hai soluzioni.
Se k= 0 allora $x_0$ è una soluzione.
Adesso devi vedere $f(x_0)$. Se è positivo allora la soluzione è unica, però lo dovresti dimostrare.
Se è 0 devi vedere cosa succede in un intorno destro del punto...
Se invece k>0 allora come dice gugo devi vedere se l'integrale improprio converge. Se si allora se k> al valore dell'integrale non hai soluzione se invece è minore hai almeno una soluzione. Dovresti poi metteri a studiare se è unica facendo considerazioni analoghe a prima su $f(x_1)$ dove $x_1$ è...
Se invece k è uguale anche la ti devi mettere a fare delle considerazioni su f sul suo comportamento verso l'infinito
Poi se invece l'integrale diverge anche quanaltre considerazioni...

[gugo82]

"Plepp":Ma scusa Gugo, la funzione $F(x)$ viene definita solo per $x\geq x_0$, per cui...
Anche perchè altrimenti, come giustamente dici, sarebbe un vero macello risolvere l'esercizio!

Falso.

L'integrale:
\[
\int_{x_0}^x f(t)\ \text{d} t
\]
ha significato anche se \(x

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[Plepp]

Non per mettere in dubbio quel che dici DajeForte, ma non credo che sia il caso di scomodare gli integrali impropri, dato che li abbiamo studiati in Analisi II e questo è un esercizio per Analisi I

Ad ogni modo grazie per le vostre risposte

[Plepp]

Ahhhh....Gugo quello che dici è banalmente ovvio! Il fatto è che nell'esercizio la funzione integrale viene definita SOLAMENTE per $x \geq x_0$. Rileggi bene la traccia, per favore.

[Giuly191]

Anzitutto ti faccio notare che la tua $g(x)$ è la funzione nulla dove $sin(x) >= 0$, mentre vale $-2sin(x)$ dove $sin(x) <0 $.
Detto questo, una sua primitiva (che in questo caso coincide con una qualsiasi delle funzioni integrali che hai scritto al variare di $x_0$) deve essere costante negli intervalli in cui $g$ vale 0, mentre deve essere crescente e ovviamente positiva negli altri.
Però c'è anche un teorema che ti dice che se $g$ è integrabile la funzione integrale $G$ che hai scritto è continua, di più se $g$ è continua allora $G$ è derivabile (e in questo caso si dice che $G$ è una primitiva di $g$).
Quindi se vuoi davvero provare a scrivere l'espressione analitica di $G$ devi fare in modo che sia continua e derivabile -perchè $g$ è continua- (e non mi pare che quella roba col segno che hai scritto lo sia).
Non so se ti ho fatto cogliere appieno il problema, ma se ci rifletti su dovresti capirlo bene da solo.

[DajeForte]

Be peró dal testo dell'esercizio visto che devi studiare al variare di k in R risulta necessario capire se l'integrale converge o meno. Appunto perchè se converge ci saranno dei valori di k per cui l'equazione non ha soluzione.
Al contrario se diverege per ogni k positivo esisterà almenomuna soluzione.

[gugo82]

"Plepp":Ahhhh....Gugo quello che dici è banalmente ovvio! Il fatto è che nell'esercizio la funzione integrale viene definita SOLAMENTE per $x \geq x_0$. Rileggi bene la traccia, per favore.

Oh, me l'ero perso...

Ma, ad ogni modo, il problema rimane: è chiaro che la risolubilità dell'equazione \(F(x)=k\) dipende da diverse proprietà dell'integrando, e.g. dalla sua integrabilità impropria in \([x_0,\infty[\) e dal suo annullarsi identicamente in intervalli di \([x_0,\infty[\)...

Per quanto riguarda il controesempio, quanto scrivi non è possibile, i.e. \(F(x):=\int_0^x 2(\sin t)^-\ \text{d} t\) non può assumere valori negativi; quindi hai commesso qualche errore di calcolo o di disegno.

[Plepp]

"Giuly19":Anzitutto ti faccio notare la tua $g(x)$ è la funzione nulla dove $sin(x) < 0$, mentre vale $-2sin(x)$ dove $sin(x) <0 $.
Detto questo, una sua primitiva (che in questo caso coincide con una qualsiasi delle funzioni integrali che hai scritto al variare di $x_0$) deve essere costante negli intervalli in cui $g$ vale 0, mentre deve essere crescente e ovviamente positiva negli altri.

Ciao fin qui c'ero, ho fatto le stesse considerazioni (sia nello svolgimento che altrove).

Però c'è anche un teorema....

Il teorema fondamentale del calcolo forse? (almeno la "versione" che sta sul mio testo dice ANCHE quello che dici tu, e che comunque avevo tenuto presente ). Detto questo,

Quindi se vuoi davvero provare a scrivere l'espressione analitica di $G$ devi fare in modo che sia continua e derivabile -perchè $g$ è continua- (e non mi pare che quella roba col segno che hai scritto lo sia).

Qui mi era venuto il dubbio! Pero nel teorema si richiede, per avere la derivabilità di $F$, la sola continuità di $g$...e qui mi pare proprio che ci siamo
Quanto all'espressione analitica, anche qui ho utilizzato il teorema fondamentale del calcolo
\[\int_a^b f(x)=F(b)-F(a)\]
per cui, una volta calcolata una primitiva $G$ (a mo' di calcolo di un integrale indefinito), ho detto che
\[\int^x_{x_0}f(t)=G(x)-G(x_0)\]
che è la funzione che mi da problemi...Non capisco dove sia l'inghippo...

Grazie anche a te

[Plepp]

"gugo82":
Per quanto riguarda il controesempio, quanto scrivi non è possibile, i.e. \(F(x):=\int_0^x 2(\sin t)^-\ \text{d} t\) non può assumere valori negativi; quindi hai commesso qualche errore di calcolo o di disegno.

Questa era un'altra mia ipotesi: che avessi appunto sbagliato a calcolare $F$...ma anche Wolfram mi da lo stesso risultato (e comunque è una funzione semplicissima, è facile trovare la (una) primitiva al solito modo)

Il disegno di certo non l'ho fatto io Gugo l'ha fatto il (i) software...

[Giuly191]

Il punto è proprio che ti affidi ai software e non provi a ragionarci un po' da solo.
Ti ho detto che la funzione integrale deve essere continua in virtù di quel teorema che a me non piace chiamare teorema fondamentale del calcolo; visto che hai fatto il grafico di una funzione che diventa negativa, ti sarai anche accorto che questa funzione era anche discontinua..

[Plepp]

Giuly, ti ripeto che la primitiva l'ho calcolata "a mano"; nel software ho cercato conferma.

visto che hai fatto il grafico di una funzione che diventa negativa, ti sarai anche accorto che questa funzione era anche discontinua..

Si infatti...quindi concludiamo che l'errore in tutto il ragionamento sta solo nel calcolo della primitiva, no?
In tal caso, quale sarebbe la primitiva giusta? Ammesso che se ne possa determinare l'espressione analitica...

[gugo82]

Si ha:
\[
(\sin t)^- := \begin{cases}
0 &\text{, se } 2k\pi \leq t \leq (2k+1)\pi\\
-\sin t &\text{, se } (2k+1)\pi \leq t \leq (2k+2)\pi
\end{cases}
\]
(ove \(k\in \mathbb{Z}\)) ergo:
\[
F(x):=\int_0^x 2(\sin t)^-\ \text{d} t = \begin{cases}
0 &\text{, se } 0\leq x< \pi\\
2+2\cos x &\text{, se } \pi \leq x< 2\pi\\
4 &\text{, se } 2\pi \leq x < 3\pi\\
6+2\cos x &\text{, se } 3\pi \leq x < 4\pi\\
8 &\text{, se } 4\pi \leq x< 5\pi\\
10 + 2\cos x &\text{, se } 5\pi \leq x < 6\pi\\
\qquad \vdots &\qquad \vdots \\
4k &\text{, se } 2k\pi \leq x <(2k+1)\pi\\
4k+2 +2\cos x &\text{, se } (2k+1)\pi \leq x<2(k+1)\pi \\
\qquad \vdots &\qquad \vdots
\end{cases}
\]
ossia:
\[
F(x) := \begin{cases} 2\left[ \frac{x}{\pi}\right] &\text{, se } 2k\pi\leq x<(2k+1)\pi \\
2\cos x + 2\left[ \frac{x +\pi}{\pi}\right] &\text{, se } (2k+1)\pi \leq x<2(k+1)\pi \; .\end{cases}
\]
ove \([\cdot]\) è la parte intera.

[Plepp]

Wow
certo che me la sono andata a scegliere la funzione

Un'ultima cosa Gugo, cosa vuol dire la notazione $2(\sin t)^-$?
Comunque suppongo che tu abbia calcolato la primitiva della funzione sbagliata, in quanto
\[|\sin t|-\sin t=\begin{cases}
0\qquad&\text{se}\ \sin t \geq 0\\
-2\sin t\qquad&\text{se}\ \sin t<0\\
\end{cases}\]
Anche se il procedimento dovrebbe essere lo stesso!

Grazie ora i conti tornano!

PS. E' molto simile a questa la primitiva che da' il derive!

[gugo82]

In realtà, sono calcoli che si finiscono in 10 minuti, non è che ci voglia tanto.

La notazione \(u^-\) denota la parte negativa di \(u\) (che è una funzione \(\geq 0\), nonostante il nome!).

I conti sono giusti, come si può vedere derivando \(F\).

[Plepp]

"gugo82":In realtà, sono calcoli che si finiscono in 10 minuti, non è che ci voglia tanto.

Vabè piu o meno non è questione di conti...è che non sono andato certo a pensare di aver scelto una funzione la cui primitiva non potesse essere calcolata col metodo "tradizionale" a cui sono abituato...

Grazie ancora in ogni caso

PS. molto "figa" questa notazione