Lo spazio $L^{\infty}$ è completo
Vorrei provare che lo spazio $L^{\infty}$ è completo. Intanto diamo qualche definizione.
$L^{\infty}$ è l'insieme delle funzioni misurabili e quasi certamente limitate.
Su $L^{\infty}$ definisco la norma $||f||_{\infty}=\min \{M\ |\ |f(x)|\leq M\ \text{q.c.}\}$.
La successione $(f_n)$ è di Cauchy se per ogni $\epsilon>0$ esiste $\bar n$ tale che $||f_n-f_m||_{\infty}<\epsilon$ per ogni $m,n>\bar n$, (cioè per ogni $\epsilon>0$ esiste $\bar n$ tale che per quasi ogni $x$ $|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$ per ogni $m,n>\bar n$, giusto?)
Ho già qualche dubbio sulla precedente definizione di successione di Cauchy perché non sono tanto sicuro su dove e come vada messo il "per quasi ogni $x$"...
$L^{\infty}$ è l'insieme delle funzioni misurabili e quasi certamente limitate.
Su $L^{\infty}$ definisco la norma $||f||_{\infty}=\min \{M\ |\ |f(x)|\leq M\ \text{q.c.}\}$.
La successione $(f_n)$ è di Cauchy se per ogni $\epsilon>0$ esiste $\bar n$ tale che $||f_n-f_m||_{\infty}<\epsilon$ per ogni $m,n>\bar n$, (cioè per ogni $\epsilon>0$ esiste $\bar n$ tale che per quasi ogni $x$ $|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$ per ogni $m,n>\bar n$, giusto?)
Ho già qualche dubbio sulla precedente definizione di successione di Cauchy perché non sono tanto sicuro su dove e come vada messo il "per quasi ogni $x$"...
Risposte
Supponendo che quello che ho scritto prima sia giusto, penso di poter dire le seguenti cose:
1) per quasi ogni $x$ la successione $f_n(x)$ è una successione reale di Cauchy, quindi $f_n$ converge a una certa $f$ quasi certamente;
2) essendo la successione $f_n$ di Cauchy in $L^{\infty}$, è anche limitata, quindi anche $f$ è limitata.
Può darsi?
1) per quasi ogni $x$ la successione $f_n(x)$ è una successione reale di Cauchy, quindi $f_n$ converge a una certa $f$ quasi certamente;
2) essendo la successione $f_n$ di Cauchy in $L^{\infty}$, è anche limitata, quindi anche $f$ è limitata.
Può darsi?
L'idea è sostanzialmente corretta; forse ci vuole giusto un po' di attenzione sugli insiemi di misura nulla.
Più precisamente, poiché \((f_n)\) è di Cauchy in \(L^{\infty}(X)\), per ogni \(k\in\mathbb{N}\) esiste un indice \(n_k\) e un insieme di misura nulla \(N_k\subset X\) tale che
\[
(1) \qquad |f_n(x) - f_m(x)| < 1/k \qquad \forall m,n\geq n_k,\ \forall x\in X\setminus N_k
\]
A questo punto osservi che l'insieme \(N = \cup_k N_k\) ha anch'esso misura nulla; inoltre, per ogni \(x\in X\setminus N\) la successione \((f_n(x))\) è di Cauchy in \(\mathbb{R}\), dunque convergente (diciamo a \(f(x)\)).
Passando al limite in (1) per \(m\to +\infty\) si ottiene
\[
|f_n(x) - f(x)| < 1/k \qquad \forall n\geq n_k, \ \forall x\in X\setminus N.
\]
Da qui concludiamo che \(f\in L^{\infty}(X)\) e \(\|f_n - f\|_{\infty} < 1/k\) per ogni \(n\geq n_k\), cioè \(f_n \to f\) in \(L^{\infty}\).
Più precisamente, poiché \((f_n)\) è di Cauchy in \(L^{\infty}(X)\), per ogni \(k\in\mathbb{N}\) esiste un indice \(n_k\) e un insieme di misura nulla \(N_k\subset X\) tale che
\[
(1) \qquad |f_n(x) - f_m(x)| < 1/k \qquad \forall m,n\geq n_k,\ \forall x\in X\setminus N_k
\]
A questo punto osservi che l'insieme \(N = \cup_k N_k\) ha anch'esso misura nulla; inoltre, per ogni \(x\in X\setminus N\) la successione \((f_n(x))\) è di Cauchy in \(\mathbb{R}\), dunque convergente (diciamo a \(f(x)\)).
Passando al limite in (1) per \(m\to +\infty\) si ottiene
\[
|f_n(x) - f(x)| < 1/k \qquad \forall n\geq n_k, \ \forall x\in X\setminus N.
\]
Da qui concludiamo che \(f\in L^{\infty}(X)\) e \(\|f_n - f\|_{\infty} < 1/k\) per ogni \(n\geq n_k\), cioè \(f_n \to f\) in \(L^{\infty}\).
Grazie Rigel, ottima spiegazione 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo