Lo spazio (di Sobolev) $W^(1,p)$ è di Banach

[rubik2]

Ho un problema nella dimostrazione, il libro prende $u_n in W^(1,p)$ di cauchy e dice:
dunque $(u_n)$ e $(u'_n)$ sono di cauchy in $L^p$ di conseguenza $EE f,g in L^p$ tali che $u_n->f,U'_n->g$ in $L^p$ fin qui tutto ok

poi si ha $int u_n *phi'=-int u'_n *phi$ con $phi in C_c^1$ passa al limite e ottiene $int f *phi'=-int g *phi$ e quindi che f sta in $W^(1,p)$ io non capisco perchè si può fare il limite dentro l'integrale. forse è una stupidaggine, riguardando gli appunti il professore non ha aggiunto nulla rispetto al libro, ma io non so proprio come si fa

[gugo82]

Continuità dei funzionali lineari associati a $phi,phi' \in C_c^1 \subset L^q$?
(Qui $q$ è l'esponente coniugato di $p$.)

Curiosità: il libro è Brezis?

[rubik2]

il libro è il Brezis

Se posso aggiungo qualcos'altro

Seguendo sempre il libro si deduce questa osservazione:
Se $u_n in W^(1,p)$ è tale che $u_n->u$ e $u'_n->g$ allora $u in W^(1,p)$ e $||u_n-u||_(W^(1,p))->0$ e questa è ok ragionando come dici te.

Successivamente usa questa osservazione per dimostrare la regola di derivazione di un prodotto: prendo $u,v in W^(1,p)(I)$ prendo $u_n,v_n in C_c^1(RR)$ tali che $u_n|I->u$ e $v_n|I->v$ in $W^(1,p)$ con qualche considerazione diciamo che $u_n*v_n->u*v$ e anche $(u_n*v_n)'=u'_n*v_n+v'_n*u_n->u'*v+v'*u$ usando l'osservazione di prima abbiamo $u*v in W^(1,p)$ e $(u*v)'=v'u*u'*v$. Tutto ciò per $p!=+oo$, non capisco perchè non si può fare anche per $p=+oo$ lo stesso ragionamento, lui si restringe ad un intervallo limitato così da "ottenere" funzioni $L^p$ (le u,v) e applicare la prima parte. Ciao

[gugo82]

A occhio, direi perchè $C_c^1$ non è denso in $L^oo$ (e se ci pensi, questa cosa è ovvia; ad esempio la funzione semplice $\chi_([0,1/2])-chi_((1/2,1]) \in L^oo$ non è limite uniforme, ossia in norma $||\cdot||_oo$, di funzioni continue in $[0,1]$).

[rubik2]

grazie mille

pensavo sempre a problemi di convergenza ciao

[rubik2]

Ho un altro dubbio:
Ho $G in C^1(RR)$ e $u in W^(1,p)$ ($p<+oo$) voglio dimostrare che $(G@u)'=(G'@u)*u'$ vogliamo usare le idee discusse in precendenza quindi (saltando qualche passaggio) esiste $u_n->u$ in $W^(1,p)$ e $L^(oo)$ voglio $G@u_n->G@u$ in $L^(oo)$ e $(G'@u_n)*u_n'->(G'@u)*u'$ in $L^p$

dalle definizioni e dalle proprietà di $W^(1,p)$ so che $u_n->u$ in $L^p$ e $L^(oo)$ e $u_n'->u'$ in $L^p$:

$|G@u_n-G@u|u$ in $L^(oo)$ sarà $|u_n-u|
l'altro $||(G'@u_n)*u_n'-(G'@u)*u'\quad||_p<=||(G'@u)*u'-(G'@u)*u_n'||_p+||(G'@u)*u_n'-(G'@u_n)*u_n'||_p$

ora $|G'@u|<=M$ perchè u è limitata quindi $||(G'@u)*u'-(G'@u)*u_n'||_p<=M||u'-u_n'||_p$ che tende a zero
mentre per $|(G'@u)-(G'@u_n)|
quindi ora voglio passare al limite in $int (G@u_n)*phi'=-int(G'@u_n)*u_n'*phi$ e posso farlo per la continuità dell'operatore (come la mia prima domanda)

è corretto quello che dico? (so che sto abusando della tua pazienza ma hai una birra pagata che ti aspetta )

edit: ho confuso moduli e norme? ho fatto un casino? mi pare sensato però boh!