Lo spazio delle funzioni Test si può normare?
Oggi deve essere una giornata no.
Mi pare di aver capito ma non ne sono certo che lo spazio $D(\Omega)$ delle funzioni test non si possa normare.
Ma se prendessi ad esempio $||f||_\infty=Sup_{x\in\Omega}{|f(x)|}$
E la norma $||*||_{D(\Omega)}=\sum_\alpha ||D^\alphaf||_\infty$
dire che una successione ${f_n}->f$ con quella norma, equivallrrrebbe (come si scrive???) a dire che $D^\alphaf_n->D^\alphaf$ uniformemente, giusto?
Il problema è forse sul fatto che non sappiamo più dire se $f$ è a supporto compatto? E allora per quello c'è bisogno della condizione aggiuntiva?
Mi pare che il problema stia li. O sto sbagliando qualche cosa di clamoroso?
Mi pare di aver capito ma non ne sono certo che lo spazio $D(\Omega)$ delle funzioni test non si possa normare.
Ma se prendessi ad esempio $||f||_\infty=Sup_{x\in\Omega}{|f(x)|}$
E la norma $||*||_{D(\Omega)}=\sum_\alpha ||D^\alphaf||_\infty$
dire che una successione ${f_n}->f$ con quella norma, equivallrrrebbe (come si scrive???) a dire che $D^\alphaf_n->D^\alphaf$ uniformemente, giusto?
Il problema è forse sul fatto che non sappiamo più dire se $f$ è a supporto compatto? E allora per quello c'è bisogno della condizione aggiuntiva?
Mi pare che il problema stia li. O sto sbagliando qualche cosa di clamoroso?
Risposte
E chi ti dice che quella serie converge?
Ecco, esempio: $sin(2x)$ è una funzione di classe $C^infty(-pi, pi)$. Non ha il supporto compatto ma sono cose che si possono risolvere con qualche accorgimento tecnico. Le derivate di $sin 2x$ sono:
$(2cos 2x, -4 sin2x, -8cos2x, 16sin2x,...)$
quindi la successione $||D^alpha(sin)||_infty$ è
$(2, 4, 8, ..., 2^n, ...)$
e certamente la serie $sum_{alpha}||D^alpha(sin)||_infty$ non converge.
$(2cos 2x, -4 sin2x, -8cos2x, 16sin2x,...)$
quindi la successione $||D^alpha(sin)||_infty$ è
$(2, 4, 8, ..., 2^n, ...)$
e certamente la serie $sum_{alpha}||D^alpha(sin)||_infty$ non converge.
In che senso?
In genere sui libri si definisce la convergenza in $D(\Omega)$ con 2 condizioni.
${f_n}->f$ se:
1. $\exists K\sub\subRR^n$ tale che $"supp"{f_n}\subK \foralln$
2. $\forall \alpha\ \ \ D^\alphaf_n->D^\alphaf$ uniformemente
la norma che invece io ho definito sopra fa rispettare solo la seconda giusto?
[edit] ci siamo accavallati, comunque non capisco... sin(2x) a cosa dovrebbe convergere?[/edit]
In genere sui libri si definisce la convergenza in $D(\Omega)$ con 2 condizioni.
${f_n}->f$ se:
1. $\exists K\sub\subRR^n$ tale che $"supp"{f_n}\subK \foralln$
2. $\forall \alpha\ \ \ D^\alphaf_n->D^\alphaf$ uniformemente
la norma che invece io ho definito sopra fa rispettare solo la seconda giusto?
[edit] ci siamo accavallati, comunque non capisco... sin(2x) a cosa dovrebbe convergere?[/edit]
In realtà quella che hai definito sopra non è nemmeno una norma su tutto [tex]$C_c^{\infty}$[/tex]... Anzi, probabilmente, sono davvero poche (nel senso delle categorie di Baire) le funzioni che rispettano la condizione [tex]$\sum_\alpha ||D^\alpha f||<+\infty$[/tex].
scusate, ma io non vi sto seguendo...
Partiamo da 0.
$\Omega\subRR^n$. Se prendo $(C(\Omega),||*||_\infty)$, dove $C(\Omega)$ sono le funzioni continue e limitate su $\Omega$, è uno spazio di Banach.
E la convergenza in norma coincide con la convergenza uniforme.
Prendiamo $(C^k(\Omega),||*||_{k,\infty})$
Aaaahhhhhhh, mentre scrivo mi sono accorto di quello che sbagliavo. Prendere una pausa mi ha fatto bene
Con k finito vale, ma sennò
$\sum_\alpha ||D^\alphaf||$ non è detto sia una serie convergente!!! pure se tutte le derivate sono limitate.
Grazie ragazzi, come al solito, per la pazienza quando vaneggio
Partiamo da 0.
$\Omega\subRR^n$. Se prendo $(C(\Omega),||*||_\infty)$, dove $C(\Omega)$ sono le funzioni continue e limitate su $\Omega$, è uno spazio di Banach.
E la convergenza in norma coincide con la convergenza uniforme.
Prendiamo $(C^k(\Omega),||*||_{k,\infty})$
Aaaahhhhhhh, mentre scrivo mi sono accorto di quello che sbagliavo. Prendere una pausa mi ha fatto bene
Con k finito vale, ma sennò
$\sum_\alpha ||D^\alphaf||$ non è detto sia una serie convergente!!! pure se tutte le derivate sono limitate.
Grazie ragazzi, come al solito, per la pazienza quando vaneggio
E non vale neanche con $k$ finito. In quel caso, chi ti dice che qualche $||D^alpha f||_infty$ non sia infinito? Ora non vorrei sembrare monotono, ma la topologia naturale degli spazi $C^k(Omega)$, con $Omega\subRR^n$ aperto, assomiglia alla topologia debole dell'altro topic: anche questa è generata da una famiglia di seminorme.
Infatti tu puoi definire una seminorma $|*|_{alpha, infty, K}$ per ogni multiindice $alpha$ di lunghezza minore di $k$ e per ogni compatto $K\subset Omega$: sarà
$|f|_{alpha, infty, K}=||D^alphaf||_{infty, K}$ (si intende che prendi il sup di $|D^alphaf|$ sul compatto $K$).
Queste seminorme sono ben definite, e si dimostra che generano una topologia "buona" di spazio vettoriale topologico, [size=75]precisamente una topologia di spazio di Fréchet localmente convesso[/size].
NOTA BENE: E' necessario fare questo ambaradàn perché abbiamo preso uno spazio $C^k(Omega)$, con $Omega$ aperto. E' (apparentemente) diverso il caso degli spazi $C^k(K)$ con $K$ compatto, sui quali puoi definire la norma che già conosci.
Infatti tu puoi definire una seminorma $|*|_{alpha, infty, K}$ per ogni multiindice $alpha$ di lunghezza minore di $k$ e per ogni compatto $K\subset Omega$: sarà
$|f|_{alpha, infty, K}=||D^alphaf||_{infty, K}$ (si intende che prendi il sup di $|D^alphaf|$ sul compatto $K$).
Queste seminorme sono ben definite, e si dimostra che generano una topologia "buona" di spazio vettoriale topologico, [size=75]precisamente una topologia di spazio di Fréchet localmente convesso[/size].
NOTA BENE: E' necessario fare questo ambaradàn perché abbiamo preso uno spazio $C^k(Omega)$, con $Omega$ aperto. E' (apparentemente) diverso il caso degli spazi $C^k(K)$ con $K$ compatto, sui quali puoi definire la norma che già conosci.
Per confondere ancora un po' le acque dico che probabilmente, al posto di considerare le seminorme [tex]$|\cdot|_{\alpha ,K,\infty}$[/tex] indicizzate su tutti i compatti contenuti in [tex]$\Omega$[/tex], basterebbe considerare la famiglia numerabile [tex]$|\cdot|_{\alpha ,K_n,\infty}$[/tex], ove [tex]$K_n$[/tex] è una famiglia di compatti che "invade" [tex]$\Omega$[/tex]. 
Ma, tornando seri, cito un risultato di cui so per sentito dire (nel senso che non l'ho mai approfondito seriamente).
Lo spazio [tex]$C^\infty(\Omega)$[/tex] ($\Omega \subseteq \mathbb{R}^N \text{ aperto}$), con la topologia [tex]$\tau$[/tex] indotta dalla famiglia di seminorme:
[tex]$|u|_{n ,K} := \max_{|\alpha|\leq n} ||D^\alpha u||_{\infty, K} \qquad \qquad\text{con $K\subset \Omega$ compatto, $n\in \mathbb{N}$ ed $\alpha \in \mathbb{N}^N$ multiindice}$[/tex],
è uno spazio botte (barrelled space) in cui vale la caratterizzazione dei compatti di Heine-Cantor-Borel (cioè [tex]$\text{$E$ compatto} \Leftrightarrow \text{$E$ chiuso e limitato}$[/tex]). Mi pare che questo fatto sta dimostrato sul Rudin, Functional Analysis, cap. 6; anzi su questo libro c'è molto sullo spazio delle funzioni test (e sulle distribuzioni e su tante altre cosa), quindi lo potresti usare per leggiucchiarti qualcosa.
Questo implica che [tex]$\left( C^\infty(\Omega) ,\tau \right)$[/tex] non è uno spazio di Banach (infatti, se lo fosse, avrebbe la sfera unitaria compatta e perciò sarebbe finito dimensionale, il che è assurdo).
Ciò mi pare tagli la testa al toro, no?
Ma, tornando seri, cito un risultato di cui so per sentito dire (nel senso che non l'ho mai approfondito seriamente).
Lo spazio [tex]$C^\infty(\Omega)$[/tex] ($\Omega \subseteq \mathbb{R}^N \text{ aperto}$), con la topologia [tex]$\tau$[/tex] indotta dalla famiglia di seminorme:
[tex]$|u|_{n ,K} := \max_{|\alpha|\leq n} ||D^\alpha u||_{\infty, K} \qquad \qquad\text{con $K\subset \Omega$ compatto, $n\in \mathbb{N}$ ed $\alpha \in \mathbb{N}^N$ multiindice}$[/tex],
è uno spazio botte (barrelled space) in cui vale la caratterizzazione dei compatti di Heine-Cantor-Borel (cioè [tex]$\text{$E$ compatto} \Leftrightarrow \text{$E$ chiuso e limitato}$[/tex]). Mi pare che questo fatto sta dimostrato sul Rudin, Functional Analysis, cap. 6; anzi su questo libro c'è molto sullo spazio delle funzioni test (e sulle distribuzioni e su tante altre cosa), quindi lo potresti usare per leggiucchiarti qualcosa.
Questo implica che [tex]$\left( C^\infty(\Omega) ,\tau \right)$[/tex] non è uno spazio di Banach (infatti, se lo fosse, avrebbe la sfera unitaria compatta e perciò sarebbe finito dimensionale, il che è assurdo).
Ciò mi pare tagli la testa al toro, no?
Rifletterò su quello che mi avete detto...
Sì, avevo in testa che le funzioni e le derivate erano limitate, ma ho preso comunque l'aperto $\Omega\ \ \ $
prima o poi la smetterò di fare questi erroracci
Sì, avevo in testa che le funzioni e le derivate erano limitate, ma ho preso comunque l'aperto $\Omega\ \ \ $
prima o poi la smetterò di fare questi erroracci
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