Lmiti notevoli

[hoffman1]

Ciao ragazzi , mi sapreste dire come applicare i limiti notevoli?
Tra una ventina di giorni ho l'esame e ancora non riesco a fare i limiti usando i limiti notevoli. Ho difficoltà anche con

$ lim_(x -> 2) (x-2)/(sen(pix) $

So a quale limite notevole si avvicina ma non so proprio cosa ''inventarmi'' per arrivarci

[hoffman1]

Oppure

$ lim_(x -> 0) (1-cos^3x)/((e^(x^2)-1) $

[Papercut]

Applichi i seguenti limiti notevoli: $ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x^2=1/2 $ e $ lim_(x -> 0) (e^x-1)/x=1 $ ricorda, i seguenti limiti possono essere generalizzati per qualunque f(x) che tende a 0. Esempio: $ lim_(x -> oo ) (e^(1/x)-1)/(1/x)=1 $.
Quindi nel tuo caso:
Scomponi 1-cos^3x in $ (1-cosx)(cos^2x+cosx+1) $ e moltiplichi e dividi per $ x^2 $ ottieni: $ lim_(x -> 0) (1-cosx)/x^2*x^2/(e^(x^2)-1)*(cos^2x+cosx+1) $ a questo punto, il primo termine, osservando il limite notevole, per x->0 tende a 1/2, il secondo ad 1 e l'ultimo, in cui basta sostituire 0 al coseno essendo quest'ultima una funzione continua è uguale a 3, in definitiva il limite e uguale a 3/2.

[hoffman1]

e nel primo ? Tende a 2

[Papercut]

Nel primo non puoi applicare il limite notevole: $ lim_(x -> 0) (senx)/x=1 $ questo perchè $ pix $ non tende a 0 per x->2. Quindi applichi l'Hopital.

[Palliit]

Nel primo poni: $t=x-2$ , sostituisci e poi applichi un ovvio limite fondamentale.

[hoffman1]

Io non lho mai capita questa cosa del cambio di variabile. Perché poi t tende a 0?

[Papercut]

"Palliit":Nel primo poni: $t=x-2$ , sostituisci e poi applichi un ovvio limite fondamentale.

Giusto, non ci avevo pensato .

Ad ogni modo, in questo caso ponendo t=x-2 è ovvio che t tenda a 0, infatti per x->2 t->0.
Un altro esempio è il seguente: ho il limite notevole $ lim_(n->+oo )(sen(1/n))/(1/n) =1 $ volendo effettuare un cambio di variabile poniamo: $ t=1/n $ a questo punto risulta ovvio che per n che tende ad infinito t tenda a 0. Infatti il limite diventa: $ lim_(t-> 0)(sen(t))/(t)=1 $.

[Ernesto011]

Anche usando la formula degli archi

$-sin(2pi-theta)=sin(theta)$, $theta in RR$

Con $theta=pix$ otteniamo

$-sin(pi(2-x))=sinpix$
$-sin(pi(2-x))=sin(pi(x-2))$

Quindi per $x->2$ l'argomento del seno tende a 0


Edit: in realtá bastava ingenuamente notare $sinpix=sin (pix-2pi)$, comunque è uguale

[francicko]

"Ernesto01":


Edit: in realtá bastava ingenuamente notare $ sinpix=sin (pix-2pi) $

Esatto, da cui si ha $sin(pix-2pi)~~(pix-2pi) $ ed $lim_(x->2)(x-2)/(pi (x-2))=1/pi $