Liti con cambio di variabile

[92kiaretta]

Ciao a tutti avrei una domanda sui limiti concambio di variabile:
inbase a che cosa devo effettuare il cambio della variabile?
c'e una regola oppure vado a caso?

[ciampax]

Diciamo che la regola da seguire, principalmente, è fare in modo di riportare la variabile originaria ad una nuova che tenda a zero, questo per poter applicare i limiti notevoli. I casi "standard" che si presentano sono quelli per cui hai un limite con

[math]x\to a[/math]

dove

[math]a\in\mathbb{R},\ a\not=0[/math]

oppure

[math]x\to\infty[/math]

Nel primo caso la sostituzione classica che si usa è

[math]t=x-a[/math]

oppure

[math]t=a-x[/math]

(a seconda di come ti trovi più comoda) e in questo modo

[math]t\to 0[/math]

se

[math]x\to a[/math]

Nel secondo caso la sostituzione classica è

[math]t=\frac{1}{x}[/math]

in modo che

[math]t\to\left\{\begin{array}{lcl}
0^+ & & \mathrm{se } x\to+\infty\\
0^- & & \mathrm{se } x\to-\infty
\end{array}\right.[/math]

L'ultimo tipo di sostituzione è quello in cui vai a modificare, invece, la forma della funzione del limite, ponendo come nuova variabile

[math]t=\varphi(x)[/math]

dove

[math]\varphi(x)[/math]

è una funzione dipendente da

[math]x[/math]

presente nell'espressione del limite. Ad esempio se hai

[math]\lim_{x\to 2}\frac{\sin(x^2-4)}{x^2-4}[/math]

la sostituzione

[math]t=x^2-4[/math]

ti permette di riscrivere

[math]\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1[/math]

Sfortunatamente questo terzo caso non segue regole standard ma si basa sull'esperienza e su un po' di intuito.

Se hai altre domande o vuoi vedere degli esempi, chiedi.

[92kiaretta]

Ok grazie mille!!! Adesso mi è molto più chiaro!!!