Lipshitzianità e discontinuità eliminabile

[copyleft-votailprof]

Ho dei dubbi per dimostrare la Lipshitzianità.
In genere basta che la funzione è continua ed ha un asintoto orizzontale a destra e sinistra e non ci sono problemi.
Potrei anche fare il limite agli estremi della derivata prima ma nel mio caso diventa piuttosto complesso.
Nella mia funzione ci sono asintoti orizzontali a destra e sinistra ma la funzione non è continua nel punto zero. Però in zero c'è una discontinuità di terza specie (sia a destra che a sinistra il limite di f(x) converge a 1/2) e volevo sapere se un'informazione del genere è sufficiente a dire che la funzione è lipshitziana.

Grazie

[dissonance]

Mah, senti, non vorrei dire la classica cavolata ma io credo si possa dire a priori che la tua funzione non è Lipschitziana in nessun aperto contenente lo zero. E questo per un motivo che a prima vista mi pare molto semplice: tutte le funzioni Lipschitziane sono continue, e la tua non lo è. Fine.

[gugo82]

".Dev.":Ho dei dubbi per dimostrare la lipschitzianità [N.d.Gugo82: si scrive con la "c"].
In genere basta che la funzione è continua ed ha un asintoto orizzontale a destra e sinistra e non ci sono problemi.

Non è vero.

Prendi $phi(x):=(x+\sqrt(x))/(x+1)$ definita in $[0,+oo[$ e poni:

$f(x):=\{(phi(x), ", se " x>=0),(-phi(-x), ", se " x<=0):}$

La $f$ è definita in $RR$, dispari, continua ed ha asintoti a destra e sinistra (provalo!), però non è affatto lipschitziana in $RR$, visto che in nessun intorno di $0$ i rapporti incrementali $|f(x)-f(y)|/|x-y|$ si mantengono limitati.*

Quindi, fai attenzione: le condizioni che hai riportato non sono sufficienti alla lipschitzianità.
Per ottenere una vera condizione sufficiente potresti, ad esempio, aggiungere alle tue ipotesi che la derivata prima della funzione in esame sia continua.

".Dev.":Nella mia funzione ci sono asintoti orizzontali a destra e sinistra ma la funzione non è continua nel punto zero. Però in zero c'è una discontinuità di terza specie (sia a destra che a sinistra il limite di f(x) converge a 1/2) e volevo sapere se un'informazione del genere è sufficiente a dire che la funzione è lipshitziana.

In generale no.
Si può adattare l'esempio precedente per dimostrarlo (infatti, prendi $g(x):=f(x)+1/2$ definita in $RR\setminus \{0\}$; evidentemente $g$ si prolunga con continuità su $0$ ponendo $g(0)=1/2$ epperò la $g$, essendo una traslata di $f$, non può essere lipschitziana).

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* Ad esempio, se prendi $y=0$, trovi $|f(x)-f(0)|/|x-0|=|f(x)|/|x|$; se $x>0$, allora $|f(x)|/|x|=(phi(x))/x=1/\sqrt(x)*(\sqrt(x)+1)/(x+1)$ e si vede che $lim_(x\to 0^+) |f(x)|/|x|=+oo$; analoghe considerazioni valgono per $x<0$.