Lipschizianità di $f(x, y) = sqrt(y)$
Ciao!
Ho a che fare con la ODE $y^{\prime} = f(x, y) = sqrt(y)$ con condizione iniziale $y(x_0) = y_0$ con $x_0 = 2, y_0 = 3$.
La soluzione di tale equazione non è unica poichè $f(x,y)$ non è lipschitziana in un intorno di $(x_0, y_0)$.
Il mio dubbio sta nel fatto che non riesco a spiegarmi praticamente (con numeri) perchè la non-lipschitzianità (mettiamo, per esempio, come intorno il rettangolo $R = {(x,y): |x-x_0|<=1, |y-y_0|<=1}$).
Sapreste chiarirmi le idee?
Ho a che fare con la ODE $y^{\prime} = f(x, y) = sqrt(y)$ con condizione iniziale $y(x_0) = y_0$ con $x_0 = 2, y_0 = 3$.
La soluzione di tale equazione non è unica poichè $f(x,y)$ non è lipschitziana in un intorno di $(x_0, y_0)$.
Il mio dubbio sta nel fatto che non riesco a spiegarmi praticamente (con numeri) perchè la non-lipschitzianità (mettiamo, per esempio, come intorno il rettangolo $R = {(x,y): |x-x_0|<=1, |y-y_0|<=1}$).
Sapreste chiarirmi le idee?
Risposte
Aspetta un attimo.
La funzione è localmente lipschitziana in $(x_0,y_0)=(2,3)$*, quindi la soluzione locale unica la trovi.
Infatti, facendo un po' di conti, ti puoi convincere che $y(x):=(2x-4+sqrt(3))^2$ è l'unica soluzione del problema in un intorno di $x_0=2$ (ad esempio, nell'intorno definito dalla limitazione $|x-2|
La questione, casomai, è che non puoi pretendere di mantenere l'unicità globalmente: infatti le funzioni definite in $RR$ ponendo:
$y(x):=(2x-4+sqrt(3))^2 \quad$ ed $\quad u(x):=\{ ((2x-4+sqrt(3))^2, ", se " x>=2-sqrt(3)/2), (0, ", se " x<=2-sqrt(3)/2) :}$
sono ambedue di classe $C^1$ e risolvono il problema in grande.
Questo fenomeno, come hai ben detto, è dovuto al fatto che $f(x,y)=sqrt(y)$ non è Lipschitz. Ma come fare a vederlo?
Io proporrei una dimostrazione per assurdo: se, p.a., $f(x,y)=sqrt(y)$ fosse Lipschitz rispetto ad $y$, i rapporti incrementali $(f(y)-f(eta))/(y-eta)$ sarebbero limitati da una costante $L >= 0$; visto che $f$ è derivabile risp. ad $y$ in ogni punto di $RR\setminus \{ 0\}$, passando al limite la disuguaglianza $|(f(y)-f(eta))/(y-eta)| <= L$ per $eta to y$ troveresti $|f'(y)| <= L$ per $y!=0$; ma ciò è assurrdo e lascio a te spiegare perchè.
__________
* Infatti, dato che $fsqrt(y)$ ha la derivata prima in $C(RR\setminus \{ 0\})$, intorno a $(2,3)$ il modulo $|(\partial f)/(\partial y)(x,y)|$ è limitato -per il teorema di Weierstrass- e la funzione $f(x,y)$ è perciò Lipschitz risp. ad $y$ almeno intorno a $(2,3)$
La funzione è localmente lipschitziana in $(x_0,y_0)=(2,3)$*, quindi la soluzione locale unica la trovi.
Infatti, facendo un po' di conti, ti puoi convincere che $y(x):=(2x-4+sqrt(3))^2$ è l'unica soluzione del problema in un intorno di $x_0=2$ (ad esempio, nell'intorno definito dalla limitazione $|x-2|
La questione, casomai, è che non puoi pretendere di mantenere l'unicità globalmente: infatti le funzioni definite in $RR$ ponendo:
$y(x):=(2x-4+sqrt(3))^2 \quad$ ed $\quad u(x):=\{ ((2x-4+sqrt(3))^2, ", se " x>=2-sqrt(3)/2), (0, ", se " x<=2-sqrt(3)/2) :}$
sono ambedue di classe $C^1$ e risolvono il problema in grande.
Questo fenomeno, come hai ben detto, è dovuto al fatto che $f(x,y)=sqrt(y)$ non è Lipschitz. Ma come fare a vederlo?
Io proporrei una dimostrazione per assurdo: se, p.a., $f(x,y)=sqrt(y)$ fosse Lipschitz rispetto ad $y$, i rapporti incrementali $(f(y)-f(eta))/(y-eta)$ sarebbero limitati da una costante $L >= 0$; visto che $f$ è derivabile risp. ad $y$ in ogni punto di $RR\setminus \{ 0\}$, passando al limite la disuguaglianza $|(f(y)-f(eta))/(y-eta)| <= L$ per $eta to y$ troveresti $|f'(y)| <= L$ per $y!=0$; ma ciò è assurrdo e lascio a te spiegare perchè.
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* Infatti, dato che $fsqrt(y)$ ha la derivata prima in $C(RR\setminus \{ 0\})$, intorno a $(2,3)$ il modulo $|(\partial f)/(\partial y)(x,y)|$ è limitato -per il teorema di Weierstrass- e la funzione $f(x,y)$ è perciò Lipschitz risp. ad $y$ almeno intorno a $(2,3)$
Io, come soluzione della ODE, trovo $y(x)=(x+c)^2/4$ con $c=-2+-2sqrt(3)$. Dove sbaglio?
Sisi, ho sbagliato una costante (invece che dividere ho moltiplicato per $2$; colpa dell'orario... 
). Scusa.
Quella con $c=2-2sqrt(3)$ non può essere soluzione dell'equazione: infatti, derivando, trovi:
$y'(x)=1/2 (x-2-2sqrt(3))$
e si ha $y'>=0$ se e solo se $x>= 2+2sqrt(3)$, contro il fatto che $y'(x)=sqrt(y) >=0$ dappertutto.
Ad ogni modo, la soluzione l'avevo determinata così: da:
$\{(y'=sqrt(y)),(y(2)=3):}$
e supposto (come lecito per il teorema della permanenza del segno) $y>0$ intorno ad $x_0=2$, si ha:
$\int_2^x (y'(x))/sqrt(y(x))" d"x=\int_2^x 1" d"x =x-2$;
dalla equazione traiamo che $y'>0$, quindi $y(x)$ è funzione str. crescente intorno a $x_0$ e si può fare la sostituzione $y=y(x)$ nell'integrale al primo membro: si ha quindi: ($"d"y=y'(x)" d"x$, $y_0=y(2)=3$)
$\int_3^y 1/sqrt(eta)" d"eta=x-2$
$\quad => [2 sqrt(eta)]_3^y =x-2$
$quad => sqrt(y)=1/2(x-2+2sqrt(3))$;
l'ultima uguaglianza definisce implicitamente $y$ come funzione di $x$ quando $x>=2-sqrt(3)$ e tale funzione è proprio:
$y(x)=1/4(x-2+2sqrt(3))^2$.
). Scusa.Quella con $c=2-2sqrt(3)$ non può essere soluzione dell'equazione: infatti, derivando, trovi:
$y'(x)=1/2 (x-2-2sqrt(3))$
e si ha $y'>=0$ se e solo se $x>= 2+2sqrt(3)$, contro il fatto che $y'(x)=sqrt(y) >=0$ dappertutto.
Ad ogni modo, la soluzione l'avevo determinata così: da:
$\{(y'=sqrt(y)),(y(2)=3):}$
e supposto (come lecito per il teorema della permanenza del segno) $y>0$ intorno ad $x_0=2$, si ha:
$\int_2^x (y'(x))/sqrt(y(x))" d"x=\int_2^x 1" d"x =x-2$;
dalla equazione traiamo che $y'>0$, quindi $y(x)$ è funzione str. crescente intorno a $x_0$ e si può fare la sostituzione $y=y(x)$ nell'integrale al primo membro: si ha quindi: ($"d"y=y'(x)" d"x$, $y_0=y(2)=3$)
$\int_3^y 1/sqrt(eta)" d"eta=x-2$
$\quad => [2 sqrt(eta)]_3^y =x-2$
$quad => sqrt(y)=1/2(x-2+2sqrt(3))$;
l'ultima uguaglianza definisce implicitamente $y$ come funzione di $x$ quando $x>=2-sqrt(3)$ e tale funzione è proprio:
$y(x)=1/4(x-2+2sqrt(3))^2$.
Perfetto, grazie! 
Dovevo ancora familiarizzare praticamente col concetto di unicità locale..
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