Lipschitzianità/Differenziabilità
Ciao! 
@dissonance
[ot]non l'ho trovato da altre parti e ti giuro che ho cercato
, tanto che ipotesi e tesi me le sono uscite io, quindi non ne sono certo[/ot]
mi sono posto di dimostrare la seguente proposizione:
Siano $V,W$ due $k$ spazi normati, $UsubseteqV$ un aperto di $V$ e $f:U->W$ una funzione differenziabile in $U$: allora,
come notazioni uso $C(V,W)$ lo spazio delle funzioni continue e lineari tra spazi normati
dimostrazione
antepongo un lemma che userò:
supponiamo che $existsLgeq0: ||f(y)-f(x)||leqL||y-x||, forallx,y in U$
se mostro che esiste un certo $Lgeq0$ tale che $forallx in U(||df(x)(h)||leqL, forall h in V)$ abbiamo finito poiché significherebbe che $||df(x)||leqL, forallx in U$ e quindi che $||df||leqL$
ora: $forallx_0 in U$ e $forallv in Vsetminus{0}$ (pongo $df(x_0):=T$):
essendo $f$ differenziabile so che esiste un certo $delta>0$ per cui
questo significa che in questo intorno $||T(v)||
spero di non aver dimenticato nulla.
edit: ho notato che c'è un errore quì
questo passaggio va bene solo se $||v||=1$ e tutta la dimostrazione va bene(penso) se $||v||=1$
@dissonance
[ot]non l'ho trovato da altre parti e ti giuro che ho cercato
, tanto che ipotesi e tesi me le sono uscite io, quindi non ne sono certo[/ot]mi sono posto di dimostrare la seguente proposizione:
Siano $V,W$ due $k$ spazi normati, $UsubseteqV$ un aperto di $V$ e $f:U->W$ una funzione differenziabile in $U$: allora,
$f$ lipschitziana $=>$ $df:U->C(V,W)$ limitata
come notazioni uso $C(V,W)$ lo spazio delle funzioni continue e lineari tra spazi normati
dimostrazione
antepongo un lemma che userò:
supponiamo che $existsLgeq0: ||f(y)-f(x)||leqL||y-x||, forallx,y in U$
se mostro che esiste un certo $Lgeq0$ tale che $forallx in U(||df(x)(h)||leqL, forall h in V)$ abbiamo finito poiché significherebbe che $||df(x)||leqL, forallx in U$ e quindi che $||df||leqL$
ora: $forallx_0 in U$ e $forallv in Vsetminus{0}$ (pongo $df(x_0):=T$):
[size=70]$Lgeq||(f(x_0+tv)-f(x_0))/(|t|)||geq||(f(x_0+tv)-f(x_0)-T(tv))/(||tv||)*(||v||)+T(v)||geq||L(v)||-||(f(x_0+tv)-f(x_0)-T(tv))/(||tv||)||*||v||$[/size]
essendo $f$ differenziabile so che esiste un certo $delta>0$ per cui
$||(f(x_0+tv)-f(x_0)-T(tv))/(||tv||)||<1/(||v||), t in B(0,delta)setminus{0}$
questo significa che in questo intorno $||T(v)||
spero di non aver dimenticato nulla.
edit: ho notato che c'è un errore quì
$Lgeq||(f(x_0+tv)-f(x_0))/(|t|)||$
questo passaggio va bene solo se $||v||=1$ e tutta la dimostrazione va bene(penso) se $||v||=1$
Risposte
Ci sono un po' di notazioni inusuali. Lo spazio degli operatori lineari e continui di solito si indica con \(L(V, W)\) (o \(L(V;W)\)). Questo pure,
ho faticato un po' a capirlo; la norma su \(df(x)\) è quella degli operatori lineari mentre la norma su \(df\) è la norma del sup. Io ci avrei messo un pedice \(\|df\|_\infty\).
Secondo me la dimostrazione è molto più immediata, comunque. Per ogni \(h\in X\), \(\|h\|=1\), si ha che
\[
df(x)h=\lim_{\epsilon\to 0} \frac{f(x+\epsilon h)-f(x)}{\epsilon}, \]
e per ipotesi
\[ \left\lVert \frac{f(x+\epsilon h)-f(x)}{\epsilon}\right\rVert \le L, \]
e tale disuguaglianza passa al limite;
\[
\|df(x)h\|\le L.\]
\(\|df(x)\|\le L \) quindi \(\|df\|\le L\).
ho faticato un po' a capirlo; la norma su \(df(x)\) è quella degli operatori lineari mentre la norma su \(df\) è la norma del sup. Io ci avrei messo un pedice \(\|df\|_\infty\).
Secondo me la dimostrazione è molto più immediata, comunque. Per ogni \(h\in X\), \(\|h\|=1\), si ha che
\[
df(x)h=\lim_{\epsilon\to 0} \frac{f(x+\epsilon h)-f(x)}{\epsilon}, \]
e per ipotesi
\[ \left\lVert \frac{f(x+\epsilon h)-f(x)}{\epsilon}\right\rVert \le L, \]
e tale disuguaglianza passa al limite;
\[
\|df(x)h\|\le L.\]
Rispondo qui alla domanda:
che mi è arrivata in PM.
Credo che abbia già risposto dissonance.
Il fatto è immediato e deriva dalla definizione di derivata di Gâteaux come limite secondo una direzione (vedi post di dissonance).
Dovresti però notare che la definizione di differenziale che ti porti dietro è quella della "derivata di Fréchet", i.e. una funzione \(f: \mathbb{V} \to \mathbb{W}\) si dice differenziabile (o derivabile secondo Fréchet) in $x_0$ se e solo se esiste un operatore lineare (e continuo, nel caso di spazi di dimensione infinita) \(A=A_{x_0} \in L(\mathbb{V},\mathbb{W})\) tale che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{\| f(x) - f(x_0) - A(x-x_0)\|_\mathbb{W}}{\| x-x_0\|_\mathbb{V}} = 0\; ;
\]
l'operatore $A$ si chiama differenziale di $f$ in $x_0$ e si denota con $"d"f_{x_0}$.
Si può dimostrare che se $f$ è derivabile nel senso di Fréchet, allora essa è derivabile pure nel senso di Gâteaux; dunque il ragionamento di dissonance ha senso in virtù di questa proprietà.
Infine, riguardo la notazione, dissonance ha fatto bene a richiamarti all'ordine.
"anto_zoolander":
[...] come ti sembra?
che mi è arrivata in PM.
Credo che abbia già risposto dissonance.
Il fatto è immediato e deriva dalla definizione di derivata di Gâteaux come limite secondo una direzione (vedi post di dissonance).
Dovresti però notare che la definizione di differenziale che ti porti dietro è quella della "derivata di Fréchet", i.e. una funzione \(f: \mathbb{V} \to \mathbb{W}\) si dice differenziabile (o derivabile secondo Fréchet) in $x_0$ se e solo se esiste un operatore lineare (e continuo, nel caso di spazi di dimensione infinita) \(A=A_{x_0} \in L(\mathbb{V},\mathbb{W})\) tale che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{\| f(x) - f(x_0) - A(x-x_0)\|_\mathbb{W}}{\| x-x_0\|_\mathbb{V}} = 0\; ;
\]
l'operatore $A$ si chiama differenziale di $f$ in $x_0$ e si denota con $"d"f_{x_0}$.
Si può dimostrare che se $f$ è derivabile nel senso di Fréchet, allora essa è derivabile pure nel senso di Gâteaux; dunque il ragionamento di dissonance ha senso in virtù di questa proprietà.
Infine, riguardo la notazione, dissonance ha fatto bene a richiamarti all'ordine.
Ciao
infatti avevo scritto a gugo in privato riguardo un'altra dimostrazione più semplice: sono stato un po' affrettato.
L'ho riscritta in maniera più educata come:
quindi
da cui passando a limite si ha la tesi
[ot]Comunque scusate per le notazioni: mi sto avventurando un po' da solo in questo capitolo che a quanto ho capito si tratta della parte iniziale di analisi superiore(corso).
A parte analisi 3 le altre cose non mi soddisfano[/ot]
infatti avevo scritto a gugo in privato riguardo un'altra dimostrazione più semplice: sono stato un po' affrettato.
L'ho riscritta in maniera più educata come:
$Lgeq||(f(x_0+tv)-f(x_0))/(||tv||) ||=||(f(x_0+tv)-f(x_0)-L(tv))/(||tv||)+sgn(t)L(v/(||v||))||$
quindi
$Lgeq||L(v/(||v||))||-||(f(x_0+tv)-f(x_0)-L(tv))/(||tv||)||, forall vne0$
da cui passando a limite si ha la tesi
[ot]Comunque scusate per le notazioni: mi sto avventurando un po' da solo in questo capitolo che a quanto ho capito si tratta della parte iniziale di analisi superiore(corso).
A parte analisi 3 le altre cose non mi soddisfano[/ot]
Mah. Mica ho capito perché fai questo giro. Basta passare al limite nella prima disuguaglianza, come ti abbiamo detto già in due. E poi stai attento, mannaggia alla capa tua. Non ti accorgi che hai usato la L sia per la costante sia per il differenziale? Ma li rileggi i tuoi post? Non credo.
[ot]è che mi sono affezionato alle tue lamentele 
questa volta l'ho fatto veramente di proposito[/ot]
questa volta l'ho fatto veramente di proposito
[/ot]
[ot]
Vabbé va, Anto, questa mo' è proprio una stronzata, eh. Come si dice dalle parti mie, "camin, vattinn' ".
Io te lo dico sempre, ma tu te ne freghi: se stai attento *fin da adesso* a scrivere come Dio comanda, ne avrai grandi benefici. Questo significa che ti devi rileggere, e possibilmente scrivere e riscrivere un post pure due o tre volte. Magari anche farsi prima una brutta, a penna.
Tu invece, sono sicuro, ti butti a scrivere al computer, senza riflettere, e poi posti impulsivamente. Scriverai così la tua tesi di laurea?[/ot]
l'ho fatto di proposito
Vabbé va, Anto, questa mo' è proprio una stronzata, eh. Come si dice dalle parti mie, "camin, vattinn' ".
Io te lo dico sempre, ma tu te ne freghi: se stai attento *fin da adesso* a scrivere come Dio comanda, ne avrai grandi benefici. Questo significa che ti devi rileggere, e possibilmente scrivere e riscrivere un post pure due o tre volte. Magari anche farsi prima una brutta, a penna.
Tu invece, sono sicuro, ti butti a scrivere al computer, senza riflettere, e poi posti impulsivamente. Scriverai così la tua tesi di laurea?[/ot]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo