Lipschitzianità sulle palle
dovrei mostrare la seguente proposizione e avrei bisogno di una mano:
Mostrare che se una funzione f: A-->R è differenziabile in ogni punto di un aperto A c R alla n e tutte le derivate parziali sono funzioni continue su A, allora f è lipschitziana su ogni palla chiusa contenuta in A, rispetto alla distanza euclidea.
Penso che mi potrebbe aiutare il teorema di Lagrange però non saprei come.
Grazie
...
Mostrare che se una funzione f: A-->R è differenziabile in ogni punto di un aperto A c R alla n e tutte le derivate parziali sono funzioni continue su A, allora f è lipschitziana su ogni palla chiusa contenuta in A, rispetto alla distanza euclidea.
Penso che mi potrebbe aiutare il teorema di Lagrange però non saprei come.
Grazie
...
Risposte
Nessun aiuto?
Provo a dire la mia:
potresti operare prendendo spunto dal Teorema di Schwarz http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Schwarz, nel quale si fa uso del Teorema di Lagrange.
In pratica fai vedere che per ogni palla su A esistono 1 punto (il punto di applicazione di Lagrange), eccetera.
Gli estremi dei valori delle derivate nel punto di applicazione di Lagrange ti danno poi la costante di lipschitzianità.
Spiegato da bestia, però il concetto dovrebbe essere questo.
potresti operare prendendo spunto dal Teorema di Schwarz http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Schwarz, nel quale si fa uso del Teorema di Lagrange.
In pratica fai vedere che per ogni palla su A esistono 1 punto (il punto di applicazione di Lagrange), eccetera.
Gli estremi dei valori delle derivate nel punto di applicazione di Lagrange ti danno poi la costante di lipschitzianità.
Spiegato da bestia, però il concetto dovrebbe essere questo.
Basta tener conto dei seguenti fatti:
1) se $f$ è differenziabile con derivate parziali limitate su un certo insieme convesso $K$, allora $f$ è Lipschitziana in $K$ (per dimostrarlo basta usare il teor. di Lagrange);
2) una funzione continua su un compatto è limitata (teor. di Weierstrass);
3) le palle di $\mathbb{R}^n$ sono compatte e convesse.
1) se $f$ è differenziabile con derivate parziali limitate su un certo insieme convesso $K$, allora $f$ è Lipschitziana in $K$ (per dimostrarlo basta usare il teor. di Lagrange);
2) una funzione continua su un compatto è limitata (teor. di Weierstrass);
3) le palle di $\mathbb{R}^n$ sono compatte e convesse.
"Gufo90":
Nessun aiuto?
Intervento da moderatore:
Gufo90, ti consiglio vivamente di leggere il regolamento.
Non è un bel biglietto da visita violarlo già al secondo intervento sul forum.
Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo