Lipschitzianità locale con derivate parziali
Sia $AsubeRRxxRR^n$ un aperto, sia $f:A->RR^n$ tale che esistono $(\partial f)/(\partial y_1),...,(\partial f)/(\partial y_n)$ in $A$ e siano continue in $A$ allora $f$ è localmente lipschitziana in $y$.
Preso $(t_0,y_0)inA$ poiche $A$ aperto $EEdelta,eta>0$ tale che $(t_0-delta,t_0+delta)xxB(y_0,eta)subeA$. Sia $tin(t_0-delta,t_0+delta)$, definisco la funzione da $B(y_0,eta)$ a $RR^n$ tale che $y->f(t,y)$. Poichè le derivate parziali (in $y$) di questa funzione sono continue su $B(y_0,eta)$ allora questa funzione è di classe $C^1$. Inoltre presi $y,\bar yinB(y_0,eta)$ poichè le palle euclidee sono insiemi convessi (oltre che aperti) si ha che $[y,\bar y]subeB(y_0,eta)$ (dove $[y,\bar y]$ è il segmento in $RR^n$ di estremi $y$ e $\bar y$). Quindi per il teorema dei valor medio di Lagrange nel caso vettoriale si ha che $EEzin[y,\bar y]$ tale che $||f(t,y)-f(t,\bar y)||<=||J_(f)(z)||*||y-\bar y||$. Quindi posto $L=||J_(f)(z)||$ abbiamo mostrato che $AA(t,y),(t,\bar y)in(t_0-delta,t_0+delta)xxB(y_0,eta)$ si ha $||f(t,y)-f(t,\bar y)||<=L||y-\bar y||$ ovvero $f$ è localmente lipschitzianità in $y$.
Preso $(t_0,y_0)inA$ poiche $A$ aperto $EEdelta,eta>0$ tale che $(t_0-delta,t_0+delta)xxB(y_0,eta)subeA$. Sia $tin(t_0-delta,t_0+delta)$, definisco la funzione da $B(y_0,eta)$ a $RR^n$ tale che $y->f(t,y)$. Poichè le derivate parziali (in $y$) di questa funzione sono continue su $B(y_0,eta)$ allora questa funzione è di classe $C^1$. Inoltre presi $y,\bar yinB(y_0,eta)$ poichè le palle euclidee sono insiemi convessi (oltre che aperti) si ha che $[y,\bar y]subeB(y_0,eta)$ (dove $[y,\bar y]$ è il segmento in $RR^n$ di estremi $y$ e $\bar y$). Quindi per il teorema dei valor medio di Lagrange nel caso vettoriale si ha che $EEzin[y,\bar y]$ tale che $||f(t,y)-f(t,\bar y)||<=||J_(f)(z)||*||y-\bar y||$. Quindi posto $L=||J_(f)(z)||$ abbiamo mostrato che $AA(t,y),(t,\bar y)in(t_0-delta,t_0+delta)xxB(y_0,eta)$ si ha $||f(t,y)-f(t,\bar y)||<=L||y-\bar y||$ ovvero $f$ è localmente lipschitzianità in $y$.
Risposte
Si. Qual è la domanda? Vuoi sapere se va bene? Direi di si, ma attenzione che \(J_f(z)\) dipende anche da \(t\). Quindi anche il tuo numero \(L\) in realtà è un \(L(t)\). Non è un problema perché \(L(t)\) è limitato su \((t_0-\delta, t_0+\delta)\), ma queste cose le devi osservare tu.
"dissonance":
Quindi anche il tuo numero \(L\) in realtà è un \(L(t)\). Non è un problema perché \(L(t)\) è limitato su \((t_0-\delta, t_0+\delta)\), ma queste cose le devi osservare tu.
Forse invece di scrivere $J_(f)(z)$ avrei dovuto scrivere $J_(\varphi)(z)$ (posto $\varphi:B(y_0,eta)->RR^n$ con $\varphi(y)=f(t,y)$).
Vabbé ma la dipendenza da \(t\) sempre là sta. Non è un cambio di notazione che ti può risolvere un problema matematico, al massimo lo può nascondere.
"dissonance":
Vabbé ma la dipendenza da \(t\) sempre là sta. Non è un cambio di notazione che ti può risolvere un problema matematico, al massimo lo può nascondere.
Ma in teoria $\varphi$ dipende solo da $y$ dato che $t$ è fissato.
OK. Allora facciamo così. Scrivi per favore la tesi, in formule. Cosa esattamente vuoi dimostrare? "Localmente lipschitziana" cosa significa, esattamente, e in formule?
"dissonance":
OK. Allora facciamo così. Scrivi per favore la tesi, in formule. Cosa esattamente vuoi dimostrare? "Localmente lipschitziana" cosa significa, esattamente, e in formule?
La tesi è che $f$ sia localmente lipschitziana in $y$, ovvero per ogni $(t_0,y_0)inAsubeRRxxRR^n$ esiste un intorno $U$ del punto ed esiste $L>=0$ tale che $||f(t,y)-f(t,\bar y)||<=L||y-\bar y||$ per ogni $(t,y),(t,\bar y)inU$
Un intorno \(U\) di che punto? Il punto non è \(y_0\). Il punto è \((t_0, y_0)\).
In altre parole, tu hai dimostrato che esiste \(L=L(t)\) tale che
\[
\lVert f(t, y)-f(t, \overline y)\rVert \le L(t)\lVert y-\overline y\rVert, \]
per ogni \((t, y), (t, \overline y)\in U\).
Mi spiego? Riesci a vedere la differenza con quello che hai scritto tu? Ti manca un passaggio finale.
In altre parole, tu hai dimostrato che esiste \(L=L(t)\) tale che
\[
\lVert f(t, y)-f(t, \overline y)\rVert \le L(t)\lVert y-\overline y\rVert, \]
per ogni \((t, y), (t, \overline y)\in U\).
Mi spiego? Riesci a vedere la differenza con quello che hai scritto tu? Ti manca un passaggio finale.
"dissonance":
Un intorno \(U\) di che punto? Il punto non è \(y_0\). Il punto è \((t_0, y_0)\).
Ho capito quello che intendi da prima, però io ho fissato $t$ in $(t_0-delta,t_0+delta)$ quindi sto considerando come $U=(t_0-delta,t_0+delta)xxB(y_0,eta)$ no?
E questo adesso che cosa c'entra? Perché dovrebbe aiutarti a concludere la dimostrazione? Il fatto che \(L\) dipende da \(t\) resta in piedi e ancora non vedo nessun tentativo da parte tua di risolverlo.
P.S.: ho riletto, suona duro, non è mia intenzione, voglio solo spronarti ad andare al sodo.
P.S.: ho riletto, suona duro, non è mia intenzione, voglio solo spronarti ad andare al sodo.
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