Lipschitzianità $f:[a,b]\to\mathbb{C}$

[DavideGenova1]

Ciao, amici! So che $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ è tale \(\forall t_1,t_2\in[a,b]\quad|f(t_1)-f(t_2)|\leq K |t_1-t_2|\) se e solo se \(|f'(t)|\leq K\) per ogni $t\in[a,b]$ e mi sembra facilissimo dimostrare il "solo se" e facile dimostrare il "se" usando il teorema di Lagrange.
Mi chiedevo se tale implicazione \(\forall t\in[a,b]\quad |f'(x)|\leq K\Rightarrow \forall t_1,t_2\in[a,b]\quad|f(t_1)-f(t_2)|\leq K |t_1-t_2|\) valga in generale anche per una funzione $f:[a,b]\to\mathbb{C}$...
Il teorema di Lagrange direi che non si applichi a questo tipo di funzioni...
$\infty$ grazie a tutti!

[ciampax]

La butto là:
$$|f(t_2)-f(t_1)|=\left|\int_{t_2}^{t_1} f'(x)\ dx\right|\le\int_{t_1}^{t_2}|f'(x)|\ dx\le\int_{t_1}^{t_2} K\ dx=K|t_2-t_1|$$

Solo che più la guardo sta cosa, più mi sembra una cavolata, non so...

[DavideGenova1]

$\infty$ grazie per la risposta! Valendo il teorema fondamentale del calcolo anche per $f$ a valori complessi e la disuguaglianza $|\int_{a}^{b}f(t)dt|\leq\int_{a}^{b}|f(t)|dt$ nella mia ignoranza mi sembra ineccepibile!

[ciampax]

Infatti non dicevo della cosa che ho scritto, dicevo della questione, nel senso che mi pare fin troppo ovvia... ma forse sono io che sono convinto che tutte le funzioni siano di classe $C^\infty$, che ne so...