Lipschitzianità-Derivabilità
Ciao, ho visto le definizioni di lipschitzianità ma dove sto studiando non riporta le dimostrazioni di quello che dice quindi non ci sto capendo molto...
non capisco il legame tra lipschitzianità e derivabilità:
Perchè se una funzione è lipschitziana con costante L non è possibile fare:
$\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} <= L $ ?
e se è derivabile come si fa a dire che è lipschitziana?
e se è derivabile con derivata infinita in qualche punto come si fa a dire che non è lipschitziana?
grazie
non capisco il legame tra lipschitzianità e derivabilità:
Perchè se una funzione è lipschitziana con costante L non è possibile fare:
$\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} <= L $ ?
e se è derivabile come si fa a dire che è lipschitziana?
e se è derivabile con derivata infinita in qualche punto come si fa a dire che non è lipschitziana?
grazie
Risposte
Se la funzione è Lipschitziana certamente tu puoi dire che $(f(x_0+h)-f(x_0))/h<=L$ per ogni $h$ sufficientemente piccolo. Quindi, se esiste il limite, $lim_{h\to0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h<=L$. Ma chi ci ha detto che il limite esiste? Nessuno: difatti esistono funzioni Lipschitziane non derivabili, come ad esempio il valore assoluto.
vero,
e per le altre questioni?
se è derivabile con derivata continua in un intervallo chiuso posso dire che $\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} <= M$ cioè esiste un massimo alla derivata, quindi $\lim_{h\to 0} f(x_0+h)-f(x_0) <= \lim_{h\to 0}M h$ ma come posso dire che vale per ogni h tale che $x_0+h$ sta nel dominio?
e riguardo l'ultimo punto?
e per le altre questioni?
se è derivabile con derivata continua in un intervallo chiuso posso dire che $\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} <= M$ cioè esiste un massimo alla derivata, quindi $\lim_{h\to 0} f(x_0+h)-f(x_0) <= \lim_{h\to 0}M h$ ma come posso dire che vale per ogni h tale che $x_0+h$ sta nel dominio?
e riguardo l'ultimo punto?
Guarda, per me la Lipschitzianità è di comprensione più semplice se riformulata in questo modo:
sia $f:I\toRR$ con $I$ intervallo aperto (*). Diremo che $f$ è Lipschitziana e che $L>0$ è una Costante di Lipschitz per $f$ sse i rapporti incrementali di $f$ sono limitati da $L$ nel senso che:
$[|f(x+h)-f(x)|]/[|h|]<=L$ per ogni $x\inI$ e $h\inRR$ tale che $x+h\inI$.
Ora che ci siamo chiariti sulle definizioni passiamo alla prima delle tue domande. Supponiamo che $f:I\toRR$ sia derivabile con la derivata limitata. Per ogni $x, h$ per cui abbia senso $f(x+h)$, possiamo applicare il teorema di Lagrange per ottenere
$[f(x+h)-f(x)]/[h]=f'(xi)$ per una $xi$ compresa tra $x$ e $x+h$. In particolare $[|f(x+h)-f(x)|]/[|h|]=|f'(xi)|$; ma per ipotesi esiste una costante $L$ tale che $|f'(x)|<=L$ per ogni $x$ e dunque certamente per $xi$. Concludiamo che $[|f(x+h)-f(x)|]/[|h|]<=L$.
________________________________
(*) Si può parlare di Lipschitzianità anche in contesti più generali ma è questo ciò che ci serve adesso.
[edit] Tolto un riferimento a "$h$ sufficientemente piccolo", che dava una idea sbagliata della definizione.
sia $f:I\toRR$ con $I$ intervallo aperto (*). Diremo che $f$ è Lipschitziana e che $L>0$ è una Costante di Lipschitz per $f$ sse i rapporti incrementali di $f$ sono limitati da $L$ nel senso che:
$[|f(x+h)-f(x)|]/[|h|]<=L$ per ogni $x\inI$ e $h\inRR$ tale che $x+h\inI$.
Ora che ci siamo chiariti sulle definizioni passiamo alla prima delle tue domande. Supponiamo che $f:I\toRR$ sia derivabile con la derivata limitata. Per ogni $x, h$ per cui abbia senso $f(x+h)$, possiamo applicare il teorema di Lagrange per ottenere
$[f(x+h)-f(x)]/[h]=f'(xi)$ per una $xi$ compresa tra $x$ e $x+h$. In particolare $[|f(x+h)-f(x)|]/[|h|]=|f'(xi)|$; ma per ipotesi esiste una costante $L$ tale che $|f'(x)|<=L$ per ogni $x$ e dunque certamente per $xi$. Concludiamo che $[|f(x+h)-f(x)|]/[|h|]<=L$.
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(*) Si può parlare di Lipschitzianità anche in contesti più generali ma è questo ciò che ci serve adesso.
[edit] Tolto un riferimento a "$h$ sufficientemente piccolo", che dava una idea sbagliata della definizione.
"dissonance":
Guarda, per me la Lipschitzianità è di comprensione più semplice se riformulata in questo modo:
sia $f:I\toRR$ con $I$ intervallo aperto (*). Diremo che $f$ è Lipschitziana e che $L>0$ è una Costante di Lipschitz per $f$ sse i rapporti incrementali di $f$ sono limitati da $L$ nel senso che:
$[|f(x+h)-f(x)|]/[|h|]<=L$ per ogni $x\inI$ e $h$ sufficientemente piccolo.
h sufficientemente piccolo significa che vale localmente per tutti gli h minori di un certo valore H vero?
perchè così, presi 2 dischi $D_1,D_2$ centrati in $x_1,x_2 \in I$ e di raggio h, tc la loro intersezione non sia vuota,
$|f(x+h)-f(x)|<=|h|L$
$|f(x+h)-f(x)|<=|h|L$
si può dire che la distanza tra due punti $y_1 \in D_1$ e $y_2 \in D_2$ è minore della somma del massimo delle distanze nei due dischi ovvero
$|f(y_1)-f(y_2)|<=2|h|L$
e procedendo così si possono unire tutti i dischetti fino a formare l'insieme I con una nuova costante di Lipschitz globale? Ma come faccio a dire che questa costante non va a $\infty$?
No, no, questa maniera di procedere presupporrebbe che $I$ sia compatto. Solo in quel caso puoi selezionare un numero finito di "dischetti" come quelli di cui parli e provare che la costante non va ad $infty$. Ma non è questo il caso, di Lipschizianità si parla abbondantemente in insiemi non compatti.
In realtà la Lipschitzianità è proprio questo: esiste una costante, globale, che vale ovunque e ti fornisce un controllo sull'accrescimento della funzione. Il discorso come lo stai imbastendo tu invece è di carattere locale e ti consiglierei di scartarlo perché ti confonderà le idee. Cosa stai cercando di dimostrare? Hai letto la seconda parte del mio post? Ti convince?
P.S.: Comunque, per $h$ sufficientemente piccolo intendevo "sufficientemente piccolo perché $x+h$ resti in $I$". Probabilmente è questo che ti ha confuso le idee. Adesso correggo.
In realtà la Lipschitzianità è proprio questo: esiste una costante, globale, che vale ovunque e ti fornisce un controllo sull'accrescimento della funzione. Il discorso come lo stai imbastendo tu invece è di carattere locale e ti consiglierei di scartarlo perché ti confonderà le idee. Cosa stai cercando di dimostrare? Hai letto la seconda parte del mio post? Ti convince?
P.S.: Comunque, per $h$ sufficientemente piccolo intendevo "sufficientemente piccolo perché $x+h$ resti in $I$". Probabilmente è questo che ti ha confuso le idee. Adesso correggo.
Ho modificato un poco i messaggi precedenti. Forse adesso è più chiaro il carattere globale della Lipschitzianità.
Ok sono convinto, sei stato molto chiaro grazie.
Si in effetti era quel h sufficientemente piccolo nella def che mi aveva fatto pensare ad una definizione di proprietà locale e quindi volevo metterla in relazione con quella globale...
Si in effetti era quel h sufficientemente piccolo nella def che mi aveva fatto pensare ad una definizione di proprietà locale e quindi volevo metterla in relazione con quella globale...
"Fox":
e se è derivabile con derivata infinita in qualche punto come si fa a dire che non è lipschitziana?
se è derivabile con derivata infinita in qualche punto come si fa a dire che non è lipschitziana?
beh giusto, banalmente si contraddice la definizione perchè per x= al punto in cui la derivata tende a $\infty$ $\forall h \in \mathbb{R}$ tc $x+h \in I$ $\not\exists L$ che maggiora perchè il salto è infinito... no?
buonanotte!
Io proverei a metterla in termini fisici. Invece di parlare di funzioni $f(x)$ parliamo di una equazione $s=s(t)$ del moto di una particella lungo una retta. Formalmente quindi abbiamo una funzione $s:I\toRR$ dove $I$ è un intervallo temporale; per ogni $t$ (espresso in secondi), $s(t)$ è la distanza in metri dall'origine della retta all'istante $t$.
Come probabilmente saprai, i rapporti incrementali hanno una interpretazione fisica come velocità media e le derivate come velocità istantanea: precisamente, dato un istante $t\inI$ e una variazione $Deltat$ tale che $t+Deltat\inI$, chiameremo il rapporto $[s(t+Deltat)-s(t)]/[Deltat]$ velocità media relativa a $t, Deltat$. Il limite delle velocità medie relative a $t$, se esiste (ovvero se $s$ è derivabile in $t$) viene chiamato velocità istantanea all'istante $t$.
Dire che $s$ è Lipschitziana significa quindi dire che:
esiste una costante $L$ che controlla tutte le velocità medie (in valore assoluto).
Invece, dire che $s$ ha la derivata prima limitata significa dire che:
esiste una costante $L'$ che controlla tutte le velocità istantanee (in valore assoluto).
Infine, dire che $s$ ha la derivata prima non limitata signfica dire che:
le velocità istantanee diventano arbitrariamente grandi (in valore assoluto).
Spero che questo specchietto ti sia di aiuto.
Come probabilmente saprai, i rapporti incrementali hanno una interpretazione fisica come velocità media e le derivate come velocità istantanea: precisamente, dato un istante $t\inI$ e una variazione $Deltat$ tale che $t+Deltat\inI$, chiameremo il rapporto $[s(t+Deltat)-s(t)]/[Deltat]$ velocità media relativa a $t, Deltat$. Il limite delle velocità medie relative a $t$, se esiste (ovvero se $s$ è derivabile in $t$) viene chiamato velocità istantanea all'istante $t$.
Dire che $s$ è Lipschitziana significa quindi dire che:
esiste una costante $L$ che controlla tutte le velocità medie (in valore assoluto).
Invece, dire che $s$ ha la derivata prima limitata significa dire che:
esiste una costante $L'$ che controlla tutte le velocità istantanee (in valore assoluto).
Infine, dire che $s$ ha la derivata prima non limitata signfica dire che:
le velocità istantanee diventano arbitrariamente grandi (in valore assoluto).
Spero che questo specchietto ti sia di aiuto.
Eh si, sicuramente è un modo molto più intuitivo di vederla...
Se le velocità istantanee non sono controllate, neanche le medie lo possono essere (perchè media di una serie di valori di cui qualcuno infinito) . Mentre se le istantanee sono controllate, anche le medie lo sono poichè integrali su intervalli finiti.
Invece se le velocità medie sono controllate implica che tutte le velocità istantanee devono necessariamente essere controllate.
Sempre ragionando con integrali.
Se le velocità istantanee non sono controllate, neanche le medie lo possono essere (perchè media di una serie di valori di cui qualcuno infinito) . Mentre se le istantanee sono controllate, anche le medie lo sono poichè integrali su intervalli finiti.
Invece se le velocità medie sono controllate implica che tutte le velocità istantanee devono necessariamente essere controllate.
Sempre ragionando con integrali.
Però bisogna stare attenti con questo tipo di ragionamenti non troppo formali
perchè procedendo in questo modo con integrali, ad esempio, se la velocità istantanea è infinita per un n finito di punti non posso dire che l'integrale in un intervallo comprendente qualcuno di questi punti sia infinito.
perchè procedendo in questo modo con integrali, ad esempio, se la velocità istantanea è infinita per un n finito di punti non posso dire che l'integrale in un intervallo comprendente qualcuno di questi punti sia infinito.
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