Lipschitzianità
Ho un dubbio relativo alle funzioni lipchitziane.
Spesso leggo che se una funzione è lipchitziana equivale a chiedere che la funzione ha derivata limitata( e questo è comprensibile perchè i rapporti incrementali devono essere limitati e di qui la derivata)., ma leggo anche che se una funzione è lipchitziana però in un intorno( cioè non per $x in RR$ ma per $x in I$ ) allora equivale a richiedere che la derivata della funzione sia continua.. che nesso c'è??
Spesso leggo che se una funzione è lipchitziana equivale a chiedere che la funzione ha derivata limitata( e questo è comprensibile perchè i rapporti incrementali devono essere limitati e di qui la derivata)., ma leggo anche che se una funzione è lipchitziana però in un intorno( cioè non per $x in RR$ ma per $x in I$ ) allora equivale a richiedere che la derivata della funzione sia continua.. che nesso c'è??
Risposte
Non "equivale". Se una funzione è derivabile con derivata continua, la derivata è localmente limitata e quindi la funzione è localmente Lipschitziana. Il viceversa è falso: \(\lvert x \rvert\) è globalmente Lipschitziana, quindi anche localmente Lipschitziana, ma non è derivabile. Se una funzione è derivabile con derivata (globalmente) limitata, allora è Lipschitziana ma anche qui non vale il viceversa perché vale il controesempio precedente.
Però si può dire che se una funzione è derivabile e la derivata non è limitata allora di sicuro essa non è Lipschitziana, che è una sorta di viceversa dell'ultima proposizione, questo si.
Vedi
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
Però si può dire che se una funzione è derivabile e la derivata non è limitata allora di sicuro essa non è Lipschitziana, che è una sorta di viceversa dell'ultima proposizione, questo si.
Vedi
http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm
Non c'è nessun nesso d'equivalenza.
Una funzione \(f:X\to \mathbb{R}\) è lipschitziana quando soddisfa una condizione di Lipschitz in tutto \(X\subseteq \mathbb{R}\).
Ma la condizione di Lipschitz in sé non implica la derivabilità nell'insieme, figuriamoci la continuità della derivata.
Ad esempio, la funzione \(f(x):=|x|\) è lipschitziana in \(X=\mathbb{R}\) (per la disuguaglianza triangolare inversa), e però non è derivabile in \(\mathbb{R}\).
La derivabilità e la limitatezza della derivata sono condizioni sufficienti alla lipschitzianità (per il teorema di Lagrange, fondamentalmente), ma per quanto appena detto si guardano bene dall'essere pure condizioni necessarie.
La continuità della derivata, invece, è un condizione sufficiente alla lipschitzianità locale di una funzione.
Una funzione \(f:X\to \mathbb{R}\) è localmente lipschitziana in \(X\) quando soddisfa una condizione di Lipschitz intorno ad ogni punto \(x\in X\).
Dato che la continuità della derivata implica la sua limitatezza su ogni insieme compatto contenuto in \(X\) (per Weierstrass), è chiaro che la \(f\) soddisferà una condizione di Lipschitz in un intorno compatto di ogni punto di \(X\), ergo sarà localmente lipschitziana in \(X\).
In generale, però, una funzione con la derivata prima limitata continua non è tenuta ad essere lipschitziana nel suo insieme di definizione. Ad esempio la funzione \(f(x):=1/(1-x^2)\) ha la derivata continua in \(X:=]-1,1[\) e quindi è localmente lipschitziana in tale intervallo; tuttavia essa non è lipschitziana in tutto \(X\).
Una funzione \(f:X\to \mathbb{R}\) è lipschitziana quando soddisfa una condizione di Lipschitz in tutto \(X\subseteq \mathbb{R}\).
Ma la condizione di Lipschitz in sé non implica la derivabilità nell'insieme, figuriamoci la continuità della derivata.
Ad esempio, la funzione \(f(x):=|x|\) è lipschitziana in \(X=\mathbb{R}\) (per la disuguaglianza triangolare inversa), e però non è derivabile in \(\mathbb{R}\).
La derivabilità e la limitatezza della derivata sono condizioni sufficienti alla lipschitzianità (per il teorema di Lagrange, fondamentalmente), ma per quanto appena detto si guardano bene dall'essere pure condizioni necessarie.
La continuità della derivata, invece, è un condizione sufficiente alla lipschitzianità locale di una funzione.
Una funzione \(f:X\to \mathbb{R}\) è localmente lipschitziana in \(X\) quando soddisfa una condizione di Lipschitz intorno ad ogni punto \(x\in X\).
Dato che la continuità della derivata implica la sua limitatezza su ogni insieme compatto contenuto in \(X\) (per Weierstrass), è chiaro che la \(f\) soddisferà una condizione di Lipschitz in un intorno compatto di ogni punto di \(X\), ergo sarà localmente lipschitziana in \(X\).
In generale, però, una funzione con la derivata prima limitata continua non è tenuta ad essere lipschitziana nel suo insieme di definizione. Ad esempio la funzione \(f(x):=1/(1-x^2)\) ha la derivata continua in \(X:=]-1,1[\) e quindi è localmente lipschitziana in tale intervallo; tuttavia essa non è lipschitziana in tutto \(X\).
"dissonance":
Però si può dire che se una funzione è derivabile e la derivata non è limitata allora di sicuro essa non è Lipschitziana, che è una sorta di viceversa dell'ultima proposizione, questo si.
questo non capisco. Questa implicazione no si traduce in : se f è lip allora la sua derivata è limitata?( per logica delle proposizioni)
No, si traduce in
( \(f\) è Lipschitziana E \(f\) è derivabile) \(\Rightarrow\) \(f\) ha la derivata limitata.
Il busillis è che esistono funzioni che non sono derivabili, e però sono Lipschitziane lo stesso. Anzi, la nozione di Lipschitzianità è interessante proprio per questo, se tutte le funzioni fossero derivabili non ce ne faremmo nulla.
Se proprio vuoi scrivere una equivalenza, così per sport, puoi scrivere questo:
Proposizione. Sia \(f\colon I \to \mathbb{R}\) una funzione derivabile definita su un intervallo. Sono equivalenti:
[list=1][*:3enn168h]\(f\) è Lipschitziana ;[/*:m:3enn168h]
[*:3enn168h]\(f'\) è limitata. [/*:m:3enn168h][/list:o:3enn168h]
( \(f\) è Lipschitziana E \(f\) è derivabile) \(\Rightarrow\) \(f\) ha la derivata limitata.
Il busillis è che esistono funzioni che non sono derivabili, e però sono Lipschitziane lo stesso. Anzi, la nozione di Lipschitzianità è interessante proprio per questo, se tutte le funzioni fossero derivabili non ce ne faremmo nulla.
Se proprio vuoi scrivere una equivalenza, così per sport, puoi scrivere questo:
Proposizione. Sia \(f\colon I \to \mathbb{R}\) una funzione derivabile definita su un intervallo. Sono equivalenti:
[list=1][*:3enn168h]\(f\) è Lipschitziana ;[/*:m:3enn168h]
[*:3enn168h]\(f'\) è limitata. [/*:m:3enn168h][/list:o:3enn168h]
Nota che si dice lipschitziana, da Rudolf Lipschitz (1832 - 1903), matematico tedesco ed allievo di Dirichlet.
Ti prego di modificare il titolo del tuo thread. Grazie.
Ti prego di modificare il titolo del tuo thread. Grazie.
modificato
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo