Lipschitzianità

[alby9411]

Ciao ragazzi.. c'è una conseguenza del teorema di Lagrange che dice che se f è continua nel chiuso (a,b), derivabile nell'aperto ed inoltre $f'$ limitata in ]a,b[ ( ossia $M>= f'(x)$ per ogni x di ]a,b[ allora la tesi è che $f$ è lipshitziana in [a,b]. Ma quale è la differenza tra la terza ipotesi e la tesi?? se la derivata prima di una funzione è sempre minore di M , non è già lipshitziana?
Altra cosa... la lipshitzianità implica che ad essere limitato sia il rapporto incrementale, ma non è uguale è la stessa cosa del dire che f' è limtata?
Grazie

[Emar1]

Ti rispondo velocemente. Stai confondendo le definizioni con i teoremi.

La definizione di funzione lipschitziana è una cosa, e non coinvolge in nessun modo la derivabilità. Infatti una funzione può essere lipschitziana in un intervallo ma non derivabile in esso (vedi qui).

Il fatto poi che se una funzione è derivabile e ha la derivata limitata allora è lipschitziana è tutto da dimostrare, ed è quindi un teorema.

Stai confondendo i due concetti sul piano logico.

[alby9411]

Hai ragione.... quindi posso dire che se è derivabile, essa è lipschitziana se f'(x) è limitata.. altrimenti se non lo devo vedere se vale che f(x1)-f(x2) sia minore o uguale di L (x1-x2). Giusto?

[Emar1]

Esatto!

[alby9411]

ma in entrambi i casi significa dire che il coefficiente angolare m è limitato?

[alby9411]

può succedere in un intervallo che il coefficiente angolare di una secante due punti qualsiasi sia maggiore o minore al coefficiente angolare delle rette tangenti ad ogni punto di quell'intervallo? Se si mi fate un esempio?

[Rigel1]

"alby941":può succedere in un intervallo che il coefficiente angolare di una secante due punti qualsiasi sia maggiore o minore al coefficiente angolare delle rette tangenti ad ogni punto di quell'intervallo? Se si mi fate un esempio?

Ovviamente no; basta usare il teorema di Lagrange.

[alby9411]

E' vero... in definitiva mi rispondete alle seguenti ?

"alby941":ma in entrambi i casi significa dire che il coefficiente angolare m è limitato?

"alby941":inoltre $ f' $ limitata in ]a,b[ ( ossia $ M>= f'(x) $ per ogni x di ]a,b[ )allora la tesi è che $ f $ è lipshitziana in [a,b]. Ma quale è la differenza tra la terza ipotesi e la tesi?? se la derivata prima di una funzione è sempre minore di M , non è già lipshitziana?

Solo questi due concetti da chiarire