Lipschitzianetà

[Gmork]

Salve,

Ho questa funzione:

$f(x)=e^{-|x|}\sqrt |x|$ che ho ripartito come segue:

[tex]f(x)=\begin{cases}e^{x}\sqrt -x & x < 0\\
e^{-x}\sqrt x & x \ge 0\end{cases}[/tex]

Definita e continua su tutto $\mathbb{R}$ è derivabile però su $\mathbb{R}-{0}$ e presenta in $x=0$ una cuspide. La derivata prima è

[tex]f'(x)=\begin{cases}e^{x}(\frac{-2x-1}{2\sqrt{-x}}) & x < 0\\
\frac{1-2x}{2e^{x}\sqrt x} & x > 0 \end{cases}[/tex]

Ora il mio problema è vedere se la funzione è Lipschitziana. Ho pensato quindi di vedere se la derivata prima è limitata, ma ho molte difficoltà a capire se per esempio:

Se $e^{x}(\frac{-2x-1}{2\sqrt{-x}})$ per $x<0$ è limitata e se $\frac{1-2x}{2e^{x}\sqrt x}$ per $x>0$ è limitata. Dato che per [tex]x[/tex] che diverge sono entrambe degli infiniti, potrei dire a priori che le due espressioni nei loro intervalli non sono limitate?

[mtr2]

per [tex]x\sim 0[/tex] hai verificato che hai una cuspide.. la risposta sulla limitatezza o meno te la sei dunque data da solo, no?

[Gmork]

Quindi essendo che $\lim_{x\to 0^-} f'(x)=-\infty$ e $\lim_{x\to 0^+} f'(x)=+\infty$ posso dire che $f'(x)$ non è limitata e dunque la funzione non è Lipschitziana, giusto?

[Gmork]

Per esempio:

Supponiamo di avere $\sqrt {1-x^2}$ per $x\in (-1,1)$. Sappiamo che la sua derivata per tale intervallo vale

$-\frac{x}{\sqrt {1-x^2}}$ come faccio a capire se quest'ultima è limitata quando $x\in (-1,1)$ e quindi se in tale intervallo $\sqrt {1-x^2}$ è Lipschitziana ?

[Gmork]

Forse sono arrivato ad una conclusione ma non so se è giusta:

$-\frac{x}{\sqrt {1-x^2}}$ sappiamo essere la derivata prima di $\sqrt {1-x^2}$. Se $\sqrt {1-x^2}$ la pensiamo definita nell'intervallo [tex]]-1,1[[/tex] possiamo dividere quest'ultimo in due sottointervalli, ossia [tex]]-1,0[[/tex] e [tex]]0,1[[/tex] .

Ora, credo che sia per $-1
Ma non ne sono sicuro che il mio ragionamento sia giusto . Che ne dite?

[Gmork]

Niente, ho scoperto che ho notevolissime difficoltà nel capire se una funzione è o meno limitata noto l'intervallo della variabile. Per esempio, supponiamo che :

[tex]f'(x) = \begin{cases}-\frac{1}{2\sqrt {-x-1}} & x<-1\\ \\

\sqrt {1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt {1-x^2}} & -11 \end{cases}[/tex]

Sia la derivata di una funzione $f(x)$ continua su tutto $\mathbb{R}.$

Per sapere se $f'(x)$ è limitata considero i suoi intervalli:

[tex]-\frac{1}{2\sqrt {-x-1}}[/tex] con [tex]x<-1[/tex]. Ora quale potrebbe essere un buon metodo per vedere se in tale intervallo quel primo tratto di derivata è limitato ?

[pater46]

Mmm... io proverei a vedere con i limiti agli estremi.

per $x < -1$, a $-oo$ la tua $f' -> 0$, però hai che $lim_{x->-1^-} f'(x) = -oo $

stesso discorso per esempio per il $lim_{x -> 1^+} f'(x) = -oo$...

Quindi mi sa che non puoi trovare alcun $M in RR$ tale che $ |f'(x)| < M forall x in RR $, che poi sarebbe la definizione di funzione ( nel tuo caso derivata ) limitata. Comunque, spesso si guarda agli estremi per vedere se una data funzione è limitata, oppure nei punti di discontinuità, se presenti.

[Gmork]

Ah quindi se trovo che per un certo $x_0\in domf\ \Rightarrow\ f'(x)\to \pm \infty$ allora certamente la funzione $f(x)$ non è Lipschitziana in quanto per esserlo $f'(x)\to l\in \mathbb{R}$ (finito) $\forall x\in dom f$.
Giusto ???

[pater46]

"Orlok":Ah quindi se trovo che per un certo $x_0\in domf\ \Rightarrow\ f'(x)\to \pm \infty$ allora certamente la funzione $f(x)$ non è Lipschitziana in quanto per esserlo $f'(x)\to l\in \mathbb{R}$ (finito) $\forall x\in dom f$.
Giusto ???

Giusto a metà. Per essere lipschitziana deve risultare $f'(x) < l \in \mathbb{R}$ (finito) $\forall x\in dom f$.
Comunque, credo che sai che questo discorso è una conseguenza del teorema di LaGrange, trovi un pò dappertutto una sua dimostrazione più rigorosa.

[Gmork]

Cioè stai dicendo dopo che trovo il limite $l$ finito della derivata per x che tende ad un certo $x_0\in \domf$ posso vedere se la funzione è Lipschitziana semplicemente dimostrando che $f'(x)

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[dissonance]

"pater46": $f'(x) < l \in \mathbb{R}$ (finito) $\forall x\in dom f$.

Ti sei scordato un valore assoluto: $|f'(x)|<=L$.

Comunque, credo che sai che questo discorso è una conseguenza del teorema di LaGrange, trovi un pò dappertutto una sua dimostrazione più rigorosa.

Si chiamava Lagrange! LaGrange è una città del Texas, da cui prende il nome una canzone degli ZZ Top. Sei un appassionato di musica country?

[Gmork]

Ecco, per me il problema consiste il più delle volte a dimostrare (nel caso di derivate non divergenti) l'esistenza di una costante positiva $L>0$ e tale che $|f'(x)|

[pater46]

Sorry, avevo scritto prima il valore assoluto, poi me lo sono dimenticato. :\

Comunque LaGrange fa più figo di Lagrange ahahahah

PS: @ Orlok: torniamo sempre a quel punto -> Limite ai punti di discontinuità ed agli estremi. Praticamente solo in questi punti di accumulazione puoi avere che la tua funzione diverge. Ci vado per logica, credo che la ragione di questo si possa dimostrare considerando la continuità della funzione... Mi dispiace ma per ora ti posso solo dire questo basandomi sull'esperienza! Almeno, a me ha sempre funzionato lavorando così.

[Gmork]

Mi hai davvero fornito un prezioso spunto...dunque vediamo se ho capito bene:

Effettivamente dire che $\lim_{x\to x_0} f'(x)=l\in \mathbb{R}$ significa che...

[tex]\forall \epsilon>0\ \exists \delta_{\epsilon}>0 : \forall x\in D[/tex] (in cui con [tex]D[/tex] chiamo l'insieme in cui [tex]f[/tex] risulta derivabile ed $x_0$ punto di accumulazione per questo insieme) con [tex]x_0-\delta_{\epsilon}
Siccome Condizione Sufficiente affinchè $f(x)$ sia Lipschitziana è che la sua $f'(x)$ sia limitata, allora----> se in un $x_0$, $x_0^+$ o $x_0^-$ scopro che la derivata converge, allora rispettiamo tale condizione sufficiente, giusto?

[pater46]

Mmm... non sbagli, però devi estendere questa situazione a tutto un intervallo. Se ti viene più facile da comprendere, mettiamola così. Consideri l'insieme $I$ codominio della funzione $f'(x)$. Per essere $f'(x)$ limitata, deve essere $I$ limitato, ovvero, deve esistere un segmento di lunghezza $r in RR$ tale che $I \subset B_r(0) $ ovvero che I sia contenuto in un segmento di raggio r centrato sull'origine.

Questa notazione è ristretta in $RR^1$, in realtà questa definizione di insieme limitato vale in $RR^n$, almeno l'ho studiata studiando la teoria della Misura, spero di non essermi sbagliato!

Non so in che altro modo spiegartelo In pratica qualunque x prendi, la derivata della tua funzione in quel punto non può andare sopra un determinato valore di soglia.

Ovviamente se hai una funzione del tipo $\sqrt(x)$, noterai anche tu che per $x->0^+$, avrai $f'(x) = 1/(2\sqrt(x)) -> +oo$. Quindi, qualunque valore $M in RR$ prendi, esisterà sempre un $\epsilon$ abbastanza piccolo tale che $f'(\epsilon) > M$, appunto perchè $lim_{x->0^+} f'(x) = +oo$.

I did my best, mi dispiace per la mia brutalità e imprecisione, ma non saprei spiegartelo meglio... Sicuramente qualcuno saprà fare molto meglio di me, resto anch'io in attesa!