Lipschitziana

[nirvana2]

Ciao, non so come fare a dire che l'equazione differenziale $x'=2*t*(x-sqrt(x))$ con $x=x(t)$ è localmente lipschitziana in $x$ ($x>0$).

Dalla definizione si sa che: $|f(x)-f(y)|<=K*|x-y|$. Cosa devo fare? Prendere una $y$ per cui $y'=2*t*(y-sqrt(y))$ ???

In effetti questa è la parte $(a)$ dell'esercizio, la parte $(b)$ è risolvere l'equazione differenziale (che non ho problemi). Quindi per dire se è localmente lipschitziana NON bisogna risolvere l'equazione differenziale, MA dovrei saperlo già dall'equazione differenziale di partenza. Se qualcuno mi aiuta, grazie.

[Gp741]

Di solito per controllare la lipschitzianità di una funzione si verifica una condizione piu semplice da stabilire, cioè controllare se la derivata parzilale di $f$ rispetto a $y$ (con $f(x,y)=y'$ ) sia continua e limitata.

[Fioravante Patrone1]

La funzione che determina la dinamica è:

$f(t,x) = 2*t*(x-sqrt(x))$

Questa funzione è di classe $C^1$ (anzi, $C^(oo)$), su $RR \times ]0,+oo[$. Quindi è ivi localmente lipschitziana (nelle due variabili $(t,x)$ globalmente, anche se ti basterebbe la lipschitzianità solo rispetto alla variabile $x$).
Il che vuol dire che, comunque fissi $(t_0,x_0)$ (la condizione iniziale), con $x_0 > 0$ (come indicato nel testo dell'esercizio), c'è un intorno rettangolare chiuso su cui hai la lipschitzianità rispetto ad $x$ (oltre alla continuità della $f$) e quindi valgono le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità in piccolo.

Notare che con la restrizione $x \ge 0$ (invece di $x > 0$) salterebbe la condizione di lipschitzianità locale per le condizioni iniziali del tipo $(t_0,0)$.