Lipschitz su ogni intervallo, ma non unif. cont.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Sia \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) tale che per tutti gli intervalli \( [a,b] \subset \mathbb{R} \), abbiamo che \(f \) è lipschitziana su \( [a,b] \), allora \( f \) è uniformemente continua su \( \mathbb{R}\).
Se vero dimostra, se falso contro-esempio!

Secondo me è falsa, ma ho difficoltà a trovare un contro-esempio. Nel senso dovrei trovare una funzione che è lipschitziana (e quindi uniformemente continua) "ovunque" (su ogni \([a,b] \) ) ma non all' "infinito" e che non è uniformemente continua all'infinito.
Potrebbe andare \( e^x \) ? È lipschtiziana su ogni compatto , ma non è uniformemente continua , dunque dovrebbe andare bene, vero?
Abbiamo che \( f'(x)=e^x \) e su \( [a,b] \) per Weierstrass ammette un massimo \( M_{[a,b]}=\max_{x \in [a,b] } f(x) \) e un minimo e per il teorema del incremento finito abbiamo che \( f(a) - f(b) = f'(c)(a-b) \) con \( c \in (a,b) \). Dunque su ogni compatto e \( \forall x,y \in [a,b] \subset \mathbb{R} \) risulta che \( \begin{vmatrix} f(x) - f(y) \end{vmatrix} \leq M_{[a,b]} \begin{vmatrix} x-y \end{vmatrix} \)
Giusto?

[otta96]

"3m0o":Potrebbe andare \( e^x \) ? È lipschtiziana su ogni compatto , ma non è uniformemente continua

Scusa ma se sai questo perché hai dei dubbi?
Comunque va bene qualsiasi funzione $C^1$ con derivata non limitata.

[dissonance]

"otta96":
Scusa ma se sai questo perché hai dei dubbi?

D'accordissimo. Perché hai dei dubbi? Bisogna essere sicuri di sé.