Lipschitz limitatezza in piu variabili
Mi è noto che per una funzione $f:Omega->RR$ con $OmegasubseteqRR^n$ aperto convesso e $f$ differenziabile in esso, sono equivalenti
$f$ lipschitziana
$f$ ha gradiente limitato in norma
Sostanzialmente si sfruttano il teorema di Lagrange in più variabili e la disuguaglianza di Cauchy Schwartz.
Tale proprietà Continua a valere se gli spazi in questione sono soltanto normati? Oppure su un dominio non convesso?
Mi pongo questa domanda perché sostanzialmente nella dimostrazione vengono usate in maniera molto forte il teorema di Lagrange(che usa la convessità) e la disuguaglianza(che vale negli spazi euclidei)
$f$ lipschitziana
$f$ ha gradiente limitato in norma
Sostanzialmente si sfruttano il teorema di Lagrange in più variabili e la disuguaglianza di Cauchy Schwartz.
Tale proprietà Continua a valere se gli spazi in questione sono soltanto normati? Oppure su un dominio non convesso?
Mi pongo questa domanda perché sostanzialmente nella dimostrazione vengono usate in maniera molto forte il teorema di Lagrange(che usa la convessità) e la disuguaglianza(che vale negli spazi euclidei)
Risposte
La convessità non è necessaria, poiché basta la connessione.
Per il resto, è ovvio che la dimostrazione che conosci vale fintantoché il teorema di Lagrange si riesce ad esprimere con un prodotto scalare, quindi nel caso degli spazi con prodotto scalare.
Per gli spazi normati, ovviamente, le cose funzionano allo stesso modo, ma con tecniche differenti (e per vie differenti).
Per il resto, è ovvio che la dimostrazione che conosci vale fintantoché il teorema di Lagrange si riesce ad esprimere con un prodotto scalare, quindi nel caso degli spazi con prodotto scalare.
Per gli spazi normati, ovviamente, le cose funzionano allo stesso modo, ma con tecniche differenti (e per vie differenti).
"gugo82":
La convessità non è necessaria, poiché basta la connessione.
Mi ricordo che ne parlammo con Vicious Goblin molti anni fa. Ci vuole proprio la convessità, la connessione non è sufficiente. Chissà se riesco a trovare il post
Sarebbe perfetto se lo trovassi 
viewtopic.php?f=36&t=30318
Leggi gli interventi di Vicious Goblin, che rispondono completamente a tutte le tue domande. È curioso, la tua domanda di oggi è essenzialmente la stessa domanda mia di 10 anni fa. (In realtà non è la prima volta che mi riconosco nei tuoi post)
Leggi gli interventi di Vicious Goblin, che rispondono completamente a tutte le tue domande. È curioso, la tua domanda di oggi è essenzialmente la stessa domanda mia di 10 anni fa. (In realtà non è la prima volta che mi riconosco nei tuoi post)
Riporto qui il controesempio di 10 anni fa, nel frattempo l'immagine si è cancellata, il vecchio post è meno leggibile e ha bisogno di un po' di interpretazione. Voglio costruire una funzione \(F=F(x, y)\), di classe \(C^1\) su un dominio connesso ma non convesso, con tutte le derivate uniformemente limitate ma che non è Lipschitziana. Consideriamo la funzione ausiliaria
\[
\phi(x)=\begin{cases} 0, & x<0, \\ \frac{x^2}{2}, & 0\le x< 1, \\ x-\tfrac12, & 1\le x.\end{cases}\]
Questa funzione è di classe \(C^1(\mathbb R)\) e \(0\le \phi'(x) \le 1\). Consideriamo il dominio
\[
\Omega:=\{(x, y)\in \mathbb R^2\ :\ \text{se }y=0\ \text{allora }x<0\}.\]
(Si tratta del piano a cui abbiamo asportato il semiasse positivo delle \(x\)). Definiamo
\[
F(x, y)=\begin{cases} \phi(x), & y>0\\ 0, & \text{altrimenti.}\end{cases}\]
Questa funzione è di classe \(C^1\), perché gli unici problemi di derivabilità (rispetto ad \(y\)) possono avvenire sul semiasse positivo delle \(x\), che abbiamo rimosso dal dominio. Inoltre, chiaramente, tutte le derivate sono limitate. Però la funzione non è Lipschitziana, perché per \(x>1\)
\[
|F(x, \epsilon)-F(x, -\epsilon)|=x-\tfrac12, \]
mentre \(|(x, \epsilon)-(x, -\epsilon)|\) può essere piccolo a volontà.
\[
\phi(x)=\begin{cases} 0, & x<0, \\ \frac{x^2}{2}, & 0\le x< 1, \\ x-\tfrac12, & 1\le x.\end{cases}\]
Questa funzione è di classe \(C^1(\mathbb R)\) e \(0\le \phi'(x) \le 1\). Consideriamo il dominio
\[
\Omega:=\{(x, y)\in \mathbb R^2\ :\ \text{se }y=0\ \text{allora }x<0\}.\]
(Si tratta del piano a cui abbiamo asportato il semiasse positivo delle \(x\)). Definiamo
\[
F(x, y)=\begin{cases} \phi(x), & y>0\\ 0, & \text{altrimenti.}\end{cases}\]
Questa funzione è di classe \(C^1\), perché gli unici problemi di derivabilità (rispetto ad \(y\)) possono avvenire sul semiasse positivo delle \(x\), che abbiamo rimosso dal dominio. Inoltre, chiaramente, tutte le derivate sono limitate. Però la funzione non è Lipschitziana, perché per \(x>1\)
\[
|F(x, \epsilon)-F(x, -\epsilon)|=x-\tfrac12, \]
mentre \(|(x, \epsilon)-(x, -\epsilon)|\) può essere piccolo a volontà.
"dissonance":
È curioso, la tua domanda di oggi è essenzialmente la stessa domanda mia di 10 anni fa. (In realtà non è la prima volta che mi riconosco nei tuoi post)
Spero di arrivare quantomeno al 50% della tua preparazione
Comunque il controesempio è veramente bello nella sua semplicità.
@dissonance: Emmainfatti, ho detto una vaccata clamorosa... Anche senza leggere il post (che, tra l'altro, non riesco a raggiungere). 
Anzi, tempo fa ne parlai con Righello e tirammo fuori un controesempio simpatico: se ricordo bene, era una cosa del tipo $f: Omega -> RR$ con $Omega := \{ x^2 + y^2 < 1,\ y < sqrt(|x|)\}$ e:
\[
f(x,y) := \begin{cases}
0 &\text{, se } y \leq 0\\
\operatorname{sign}(x)\ y^\alpha &\text{, se } y >0
\end{cases}
\]
con $alpha >0$ da determinare in modo che $f$ sia regolare fin sul bordo di $Omega$ ma non lipschitziana in $\Omega$ (se non erro bastava prendere $1< alpha <2$).
Tuttavia, andando sempre a memoria, se $Omega$ è connesso e non "troppo brutto" geometricamente parlando, le funzioni $C^1$ sono lipschitziane.
Anzi, tempo fa ne parlai con Righello e tirammo fuori un controesempio simpatico: se ricordo bene, era una cosa del tipo $f: Omega -> RR$ con $Omega := \{ x^2 + y^2 < 1,\ y < sqrt(|x|)\}$ e:
\[
f(x,y) := \begin{cases}
0 &\text{, se } y \leq 0\\
\operatorname{sign}(x)\ y^\alpha &\text{, se } y >0
\end{cases}
\]
con $alpha >0$ da determinare in modo che $f$ sia regolare fin sul bordo di $Omega$ ma non lipschitziana in $\Omega$ (se non erro bastava prendere $1< alpha <2$).
Tuttavia, andando sempre a memoria, se $Omega$ è connesso e non "troppo brutto" geometricamente parlando, le funzioni $C^1$ sono lipschitziane.
"dissonance":
Consideriamo la funzione ausiliaria \[\phi(x)=\begin{cases} 0, & x<0, \\ \frac{x^2}{2}, & 0\le x< 1, \\ x, & 1\le x.\end{cases}\]Questa funzione è di classe \(C^1(\mathbb R)\)
Sicuro? A me sembra proprio che non sia nemmeno continua in $1$.
@otta: si, sottrai 1\2 per x>1, per favore, scusami. Ho modificato il post precedente.
@gugo: adesso il link funziona.
Si, qui l'interpretazione di ViciousGoblin è secondo me la migliore: in questo post lui nota che vale sempre la disuguaglianza
\[
|f(x)-f(y)|\le \|\nabla f\|_{L^\infty(\Omega)} d_{\mathrm{geo}}(x, y), \]
dove \(d_{\mathrm{geo}}\) indica la distanza geodetica di \(\Omega\). Quindi le funzioni \(W^{1,\infty}\) (derivabili con derivate limitate) sono Lipschitziane precisamente quando
\[\tag{1}
d_{\mathrm{geo}}(x, y)\le Cd_{\mathrm{euclidea}}(x, y),\]
per una costante \(C>0\). Gli unici esempi di domini limitati che non verificano (1) e che mi vengono in mente sono del tipo del mio post precedente (un cerchio o un quadrato a cui rimuoviamo un raggio). Scrivendo scrivendo mi accorgo che anche l'esempio del tuo post è simile in spirito, tu invece di un raggio rimuovi una spina con il profilo di \(y=\sqrt{|x|}\).
In effetti questa è una forma di immersione di Sobolev.
@gugo: adesso il link funziona.
se \(\Omega\) non è troppo brutto
Si, qui l'interpretazione di ViciousGoblin è secondo me la migliore: in questo post lui nota che vale sempre la disuguaglianza
\[
|f(x)-f(y)|\le \|\nabla f\|_{L^\infty(\Omega)} d_{\mathrm{geo}}(x, y), \]
dove \(d_{\mathrm{geo}}\) indica la distanza geodetica di \(\Omega\). Quindi le funzioni \(W^{1,\infty}\) (derivabili con derivate limitate) sono Lipschitziane precisamente quando
\[\tag{1}
d_{\mathrm{geo}}(x, y)\le Cd_{\mathrm{euclidea}}(x, y),\]
per una costante \(C>0\). Gli unici esempi di domini limitati che non verificano (1) e che mi vengono in mente sono del tipo del mio post precedente (un cerchio o un quadrato a cui rimuoviamo un raggio). Scrivendo scrivendo mi accorgo che anche l'esempio del tuo post è simile in spirito, tu invece di un raggio rimuovi una spina con il profilo di \(y=\sqrt{|x|}\).
In effetti questa è una forma di immersione di Sobolev.
Ci dovrebbe essere qualche condizione geometrica che facilita le cose e che è abbastanza ottimale, tipo la proprietà di cono... Ma sono anni che non pratico ste cose.
Gugo insegni al liceo o all’universita?
Indovina... 
Liceo(solo perché una volta facesti una battuta riguardo il ‘salto della cartella tra i banchi’).
Ancora oggi però vorrei fosse soltanto un incubo.
Ancora oggi però vorrei fosse soltanto un incubo.
Perché?
I miei ragazzi, due prime, sono bravi (a parte qualche testa dura, qualcuno che molla troppo facilmente e qualcuno che lo devi inchiodare alla sedia per fargli fare esercizio... o combinazioni di tutte queste eventualità).
E poi, sì, tengo anche un corso si Analisi I agli ingegneri... Che mi odiano cordialmente per gli esercizi di teoria che gli faccio fare alla lavagna durante gli esami.
Se vuoi un link te lo mando.
I miei ragazzi, due prime, sono bravi (a parte qualche testa dura, qualcuno che molla troppo facilmente e qualcuno che lo devi inchiodare alla sedia per fargli fare esercizio... o combinazioni di tutte queste eventualità
).E poi, sì, tengo anche un corso si Analisi I agli ingegneri... Che mi odiano cordialmente per gli esercizi di teoria che gli faccio fare alla lavagna durante gli esami.
Se vuoi un link te lo mando.
Perché saresti uno di quei professori di analisi che vorrei trovare nel mio corso di analisi.
Senza nulla togliere al buon Trapani che è il mio talismano!
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