Lipschitz
Trovare una successione di funzioni fn :[0,1] -> R , Lipschitz - continue, che converge uniformemente verso una funzione f che NON è lipschitz-continua
Ho avuto un aiuto del tipo "sqrt(x + 1/n)"
Pero anke prendendo questa come fn, nn mi sembra molto lipschitz continua...
Qc ha un idea?
thanks
L.L
Ho avuto un aiuto del tipo "sqrt(x + 1/n)"
Pero anke prendendo questa come fn, nn mi sembra molto lipschitz continua...
Qc ha un idea?
thanks
L.L
Risposte
credo che nell'esempio si deebba considerare che la funzione è ristretta all'intervallo I = [0; 1]. infatti fn e lipschitz continua in I.
fn=sqrt(x+1/n) Lipschitz continua vorrebbe dire
|(sqrt(x+1/n) - (sqrt(y+1/n))| <= L * |x - y|; per tutte le n, e x tutte le x,y € I
ma la L come me la scelgo?
grazie
|(sqrt(x+1/n) - (sqrt(y+1/n))| <= L * |x - y|; per tutte le n, e x tutte le x,y € I
ma la L come me la scelgo?
grazie
Si ha, per un certo z in [0,1]
fn(x) - fn(y) = fn'(z) * (x - y)
dunque, detto M il massimo assunto da fn' in I (che puoi verificare essere sqrt(n)/2, ma che comunque è finito, si ha)
|fn(x) - fn(y)| <= M |x - y|
fn(x) - fn(y) = fn'(z) * (x - y)
dunque, detto M il massimo assunto da fn' in I (che puoi verificare essere sqrt(n)/2, ma che comunque è finito, si ha)
|fn(x) - fn(y)| <= M |x - y|
è uno dei teoremi del valore medio ke ti permette di dire fn(x) - fn(y) = fn'(z) * (x - y) ?
cmq, scusa la mia ignoranza, come lo trovi il massimo di fn'?
oh provato a fare fn''=0 ma...non mi sembra che abbia massimo..
thx!
L.L
cmq, scusa la mia ignoranza, come lo trovi il massimo di fn'?
oh provato a fare fn''=0 ma...non mi sembra che abbia massimo..
thx!
L.L
sì dovrebbe essere il teorema del valor medio di lagrange na forse non ricordo bene...
per trovare il max di fn' devi considerare che è un massimo vincolato, cioè ristretto all'insieme [0,1]. nota che è proprio per la stessa ragione, e per la continuità di fn', che puoi considerare il max (che è il massimo valore effettivamente assunto dalla fn') e non il sup, ovvero l'estremo superiore (che è il minimo valore di m per cui fn'(x) <= m per ogni x).
calcolare un max vincolato di una funzione g in una variabile significa semplicemente cercare i punti stazionari di g (ovvero tali che g' = 0) e inoltre vedere se gli estremi sono punti di max. se pensi, per fare un esempio, alla g(x) = x ristretta in [0,1] è chiaro che non ci sono punti stazionari, ma il max è assunto in x = 1, dunque in un estremo. quindi basta valutare la g nei due estremi e confrontare i valori ottenuti con i valori della funzione nel resto dell'intervallo.
nel nostro caso è facile perché fn' è positiva, decrescente e continua in [0,1], infatti
fn'(x) = 1 / 2sqrt(x + 1/n)
dunque il max sarà assunto in x = 0 e varrà sqrt(n)/2.
spero di esserti stato d'aiuto!
per trovare il max di fn' devi considerare che è un massimo vincolato, cioè ristretto all'insieme [0,1]. nota che è proprio per la stessa ragione, e per la continuità di fn', che puoi considerare il max (che è il massimo valore effettivamente assunto dalla fn') e non il sup, ovvero l'estremo superiore (che è il minimo valore di m per cui fn'(x) <= m per ogni x).
calcolare un max vincolato di una funzione g in una variabile significa semplicemente cercare i punti stazionari di g (ovvero tali che g' = 0) e inoltre vedere se gli estremi sono punti di max. se pensi, per fare un esempio, alla g(x) = x ristretta in [0,1] è chiaro che non ci sono punti stazionari, ma il max è assunto in x = 1, dunque in un estremo. quindi basta valutare la g nei due estremi e confrontare i valori ottenuti con i valori della funzione nel resto dell'intervallo.
nel nostro caso è facile perché fn' è positiva, decrescente e continua in [0,1], infatti
fn'(x) = 1 / 2sqrt(x + 1/n)
dunque il max sarà assunto in x = 0 e varrà sqrt(n)/2.
spero di esserti stato d'aiuto!
yes
penso di aver capito meglio!
grazie!!
ciao
L.L
penso di aver capito meglio!
grazie!!
ciao
L.L
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