Lipchitzianità

[nadia891]

Come posso dimostrare che la funzione $ 3( y)^(3/2)$ è non lipchitziana?
In un esercizio ciò viene dimostrato con la derivata non limitata : nell'intorno di 0 la derivata tende a $ +- infty$ ma secondo me è sbagliato , perchè se la funzione non è derivabile ( come in questo caso) la lipchitzianità non equivale a dire che la derivata è limitata!

[walter891]

sicuramente se le derivate destra e sinistra divergono a $infty$ la funzione non può essere lipschitziana. Se la funzione non è derivabile in un punto può essere lipschitziana solo se le derivate destra e sinistra sono limitate come ad esempio nel caso di $|x|$

[Principe2]

Prova a calcolare $\frac{F(x)-F(0)}{x-0}$ e vedi se riesci a trovare un bound $C$ che ti va bene per tutti gli $x$...

[nadia891]

ma allora le proprietà : $ f_y$ continua$ to $ f localmente lipchtiziana
$f_y$ limitata$ to $ f globalmente lipchitiziana ?
Io so che non vale anche l'implicazione inversa a meno che non sono derivabili esempio proprio il modulo che non ha derivata continua eppure è localmente lipchtiziana .

[Principe2]

Non vedo cosa c'entrano... devi usare la seguente proprieta': se $\lim_{x\to x_0}f'(x)=\pm\infty$, allora $f$ non e' lipshitziana in un intorno di $x_0$. La cui dimostrazione si ottiene semplicemente dicendo: se fosse lip allora esisterebbe una costante $C$ tale che $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq C$, ma questa non puo' esistere perche' la derivata e' divergente.

[nadia891]

perchè in realtà io devo dimostrare che la funzione non è localmente lipchtiziana .
E tra localmente e globalmente c'è differenza . Infatti la funzione ad esempio $ sin y^2$ è localmente lip ( infatti $f_y $ continua) ma non lo è globalmente ( $f_y$ non è limitata).
Allora non capisco perchè viene utilizzata la condizione della globale per dimostrare quella locale ecco quale è il mio dubbio..
e tra l'altro le implicazioni sono giuste?:
$ f_y $ continua $ => $ f lip localmente ( viceversa invece non vale vedi modulo)
$ f_y $limitata $ <=> $ f lip globalmente

[Rigel1]

Immagino che la funzione in questione sia \(f(y) = 3 y^{2/3}\), e non \(f(y) = 3 y^{3/2}\).

[Principe2]

la condizione che ho scritto io e' locale.

[nadia891]

allora non sto capendo più niente
quindi per controllare se una funzione è lip locale bisogna vedere se lesue derivate sono limitate?

[Principe2]

Si! Una maniera e' quella di vedere se la derivata e' limitata. Derivata non limitata in $x_0$ implica funzione non lipschitziana in $x_0$.

Nota che questa e' una condizione locale (non globale) visto che sto parlando solo di quello che succede in $x_0$.

[nadia891]

e allora ritorno a dire : ma $sin y^2$ è localmente lip eppure non ha derivata limitata..

[Principe2]

dove non ha derivata limitata? All'infinito.... ma l'infinito non e' una cosa locale, non e' un punto $y_0$! Quella condizione che ti ho scritto per verificare la non-lipschitzianita' e' corretta nell'ambito in cui la puoi applicare, cioe' laddove la derivata e' illimitata in un intorno di un punto $y_0$.

[nadia891]

quindi non è globale perchè non è limitata su tutto l'insieme $RR$ ma è locale perchè su un compatto lo è limiatata?

[Principe2]

si

[yellow2]

Ogni funzione di classe $C^1$ è localmente lipschitziana visto che preso un compatto $K$ si puo' scrivere:
$|f(x)-f(y)|<=max_(zinK)|f'(z)|*|x-y|$.