L'inverso di Banach-Caccioppoli

[Paolo902]

A lezione, oggi mi è stato presentato il celebre teorema delle contrazioni, quello di Banach-Caccioppoli.

In sostanza, una contrazione in uno spazio metrico completo (ad esempio, in uno spazio di Banach) ammette uno e un solo punto fisso.

Con sommo stupore da parte mia, è stato osservato che, recentemente (se ho capito bene, parliamo degli anni '70), è stata dimostrata l'implicazione inversa: se in $(X,d)$ metrico vale Banach-Caccioppoli, allora $(X,d)$ è completo.

Avete voglia di illuminarmi, per piacere? Lo sapevate? Qualcuno ha qualche riferimento bibliografico?
Mi piacerebbe vedere una dimostrazione di questo fatto, anche se temo sia al di sopra delle mie facoltà.

Grazie in anticipo

[size=85]P.S. E con questo sono 3000! [/size]

[Rigel1]

Cito da wikipedia:

Several converses of the Banach contraction principle exist. The following is due to Czesław Bessaga, from 1959:
Let $f:X\to X$ be a map of an abstract set $X$ such that each iterate $f^n$ has a unique fixed point. Let $q$ be a real number, $0 < q < 1$. Then there exists a complete metric on $X$ such that $f$ is contractive, and $q$ is the contraction constant.

[Principe2]

Intervengo giusto per dire che soltanto noi italiani accostiamo il nome di Caccioppoli, al "Banach contraction principle".

P.s. Sinceramente non credo che quello citato da Paolo come inverso del teorema di Banach sia un "teorema". A occhio mi pare evidente che se non fosse completo, si potrebbe costruire una contrazione senza punti fissi (ovvero che il punto fisso starebbe nel completamento)

[Rigel1]

Beh, Caccioppoli si è accorto che bastava uno spazio metrico completo al posto di uno spazio di Banach...