L'INTEGRALE DI F(x,y) = (2xy+1 , x^2) LUNGO LA CURVA r(t) = (t , t^8) , con 0 <= t <= 1 , vale ?
Salve a tutti ragazzi ,
non riesco a risolvere questo esercizio
qualcuno saprebbe aiutarmi ?
L'INTEGRALE DI F(x,y) = (2xy+1, x^2) LUNGO LA CURVA r(t) = (t,t^8) , con 0 <= t <= 1 , vale ?
non riesco a risolvere questo esercizio
qualcuno saprebbe aiutarmi ?
L'INTEGRALE DI F(x,y) = (2xy+1, x^2) LUNGO LA CURVA r(t) = (t,t^8) , con 0 <= t <= 1 , vale ?
Risposte
Ciao, benvenuto sul forum!
Il regolamento del forum prevede un tentativo di soluzione (vale anche per le altre due domande che hai fatto): cosa hai provato a fare?
Se non sai da dove cominciare, qual è la definizione di integrale curvilineo di una certa funzione $F$ lungo una certa curva $r=r(t)$?
Inoltre, ti chiedo cortesemente di evitare il maiuscolo nei titoli (sul web viene interpretato come un urlo); grazie!
Qui trovi anche un tutorial per scrivere con le formule.
Il regolamento del forum prevede un tentativo di soluzione (vale anche per le altre due domande che hai fatto): cosa hai provato a fare?
Se non sai da dove cominciare, qual è la definizione di integrale curvilineo di una certa funzione $F$ lungo una certa curva $r=r(t)$?
Inoltre, ti chiedo cortesemente di evitare il maiuscolo nei titoli (sul web viene interpretato come un urlo); grazie!
Qui trovi anche un tutorial per scrivere con le formule.
scusami tanto sono nuovo nel forum e grazie per avermi risposto.
l'esercizio chiede l'integrale curvilineo di un campo vettoriale F(x,y) in R^2 lungo una curva di r(t)
dovrei inizialmente cercare il potenziale U del campo vettoriale , ma non saprei proprio da dove iniziare
l'esercizio chiede l'integrale curvilineo di un campo vettoriale F(x,y) in R^2 lungo una curva di r(t)
dovrei inizialmente cercare il potenziale U del campo vettoriale , ma non saprei proprio da dove iniziare
Prego! Tranquillo, proprio perché sei nuovo non ti devi preoccupare 
. L'importante è che tu prenda dimestichezza con le regole del forum, affinché non ci saranno problemi in futuro.
Puoi procedere in due modi: o trovi una primitiva (anche detta "potenziale") di $F(x,y)=(F_1(x,y),F_2(x,y))$, ovvero una funzione $U$ tale che
$$\frac{\partial U}{\partial x}(x,y)=F_1(x,y)=2xy+1$$
$$\frac{\partial U}{\partial y}(x,y)=F_2(x,y)=x^2$$
E questa si vede anche abbastanza bene ad occhio; si avrà quindi che
$$\int_r F= [U(x,y)]_{(0,0)}^{(1,1)}$$
(gli estremi in cui viene valutata $U$ sono stati ricavati sostituendo $t=0$ e $t=1$ in $r$).
Oppure, l'integrale si calcola agevolmente anche con la definizione. Per una qualsiasi curva $\gamma:[a,b] \to \mathbb{R^2}$ definita ponendo $\gamma(t)=(x(t),y(t))$, si ha:
$$\int_r F=\int_a^b \left[F(x(t),y(t)) \cdot (x'(t),y'(t))\right] \text{d}t$$
Con $\cdot$ intendo il prodotto scalare.
Prova! Anche con entrambi i modi volendo: ciò ti concede uno strumento critico che, in alcuni casi, ti permette di avere una certa confidenza nel ritenere corretto il tuo svolgimento dell'esercizio.
. L'importante è che tu prenda dimestichezza con le regole del forum, affinché non ci saranno problemi in futuro.Puoi procedere in due modi: o trovi una primitiva (anche detta "potenziale") di $F(x,y)=(F_1(x,y),F_2(x,y))$, ovvero una funzione $U$ tale che
$$\frac{\partial U}{\partial x}(x,y)=F_1(x,y)=2xy+1$$
$$\frac{\partial U}{\partial y}(x,y)=F_2(x,y)=x^2$$
E questa si vede anche abbastanza bene ad occhio; si avrà quindi che
$$\int_r F= [U(x,y)]_{(0,0)}^{(1,1)}$$
(gli estremi in cui viene valutata $U$ sono stati ricavati sostituendo $t=0$ e $t=1$ in $r$).
Oppure, l'integrale si calcola agevolmente anche con la definizione. Per una qualsiasi curva $\gamma:[a,b] \to \mathbb{R^2}$ definita ponendo $\gamma(t)=(x(t),y(t))$, si ha:
$$\int_r F=\int_a^b \left[F(x(t),y(t)) \cdot (x'(t),y'(t))\right] \text{d}t$$
Con $\cdot$ intendo il prodotto scalare.
Prova! Anche con entrambi i modi volendo: ciò ti concede uno strumento critico che, in alcuni casi, ti permette di avere una certa confidenza nel ritenere corretto il tuo svolgimento dell'esercizio.
quindi nel mio caso dovrei risolvere questo tipo d'integrale :
$ \int_r F(x,y) \text{d}s=\int_0^1 \left[(2t(t^8)+1,(t^2)) \cdot (18t^8,2t)\right] \text{d}t $
o se procedessi per trovare il potenziale dovrei fare quindi la derivata rispetto a x del primo componente + la derivata rispetto a y della seconda componente e poi fare questo tipo di integrale :
$ \int_0^1 (x'(t) + y'(t)) \text{d}t $
dove
$ (x'(t) + y'(t)) =U(x,y) $
$ \int_r F(x,y) \text{d}s=\int_0^1 \left[(2t(t^8)+1,(t^2)) \cdot (18t^8,2t)\right] \text{d}t $
o se procedessi per trovare il potenziale dovrei fare quindi la derivata rispetto a x del primo componente + la derivata rispetto a y della seconda componente e poi fare questo tipo di integrale :
$ \int_0^1 (x'(t) + y'(t)) \text{d}t $
dove
$ (x'(t) + y'(t)) =U(x,y) $
"cumi":
quindi nel mio caso dovrei risolvere questo tipo d'integrale :
$ \int_r F(x,y) \text{d}s=\int_0^1 \left[(2t(t^8)+1,(t^2)) \cdot (18t^8,2t)\right] \text{d}t $
È sbagliato $r'$: hai che $r'(t)=(1,8t^7)$. Il resto è giusto!
"cumi":
o se procedessi per trovare il potenziale dovrei fare quindi la derivata rispetto a x del primo componente + la derivata rispetto a y della seconda componente e poi fare questo tipo di integrale :
$ \int_0^1 (x'(t) + y'(t)) \text{d}t $
dove
$ (x'(t) + y'(t)) =U(x,y) $
No, questo non ha senso, anche perché nella notazione che abbiamo adottato in questa discussione $x'$ e $y'$ si riferiscono alle derivate delle componenti della curva $r$. Non devi calcolare derivate a partire da $r$ e non devi né calcolare l'integrale della loro somma né la somma delle derivate delle componenti di $r$ deve essere pari ad $U$. Devi trovare una certa funzione $U$ che, derivata rispetto ad $x$, ti dà la prima componente di $F$ e che, derivata rispetto a $y$, ti dà la seconda componente di $F$. Se la trovi, non devi calcolare nessun integrale: il tuo integrale è dato dalla differenza $U(1,1)-U(0,0)=[U(x,y)]_{(0,0)}^{(1,1)}$, come ho scritto sopra. È per questo che le primitive di campi vettoriali nel contesto di integrali curvilinei sono importanti: addirittura, tramite esse puoi calcolare un integrale anche se esso non è elementarmente esprimibile.
Ad esempio, quella rispetto a $x$ si nota particolarmente bene: ripensando alle derivate parziali (quindi immaginando $y$ come una costante), ti viene in mente qualcosa che, derivato rispetto a $x$, restituisce $F_1(x,y)=2xy+1$? E questo qualcosa, derivato rispetto a $y$, incidentalmente è pari a $F_2(x,y)=x^2$?
C'è un modo per determinare $U$ in maniera sistematica (dovresti averlo visto durante il corso o sul libro di testo), specialmente quando il campo vettoriale è più complicato di quello di questo esercizio, ma anche imparare ad aguzzare l'occhio è utile; poi, casomai, vediamo anche come calcolarlo sistematicamente; però prova a trovarlo ad occhio.
si certo ad occhio la primitiva di $ F_1(x,y)=2xy+1 $ è $ x^2(y)+x+c $
mentre di $ F_2(x,y)=x^2 $ è $ x^2(y)+c $
quindi direi che $ x^2(y)+ x $
derivata in x mi da la prima componente di $F(x,y)$
derivata in y mi da la seconda componente di $F(x,y)$
quindi se non ho sbagliato qualcosa , il potenziale $ U(x,y) = x^2(y)+x $
giusto ?
mentre di $ F_2(x,y)=x^2 $ è $ x^2(y)+c $
quindi direi che $ x^2(y)+ x $
derivata in x mi da la prima componente di $F(x,y)$
derivata in y mi da la seconda componente di $F(x,y)$
quindi se non ho sbagliato qualcosa , il potenziale $ U(x,y) = x^2(y)+x $
giusto ?
Ci sei quasi: la $U$ deve essere la stessa. Perciò, ricorda che ogni funzione di $x$ è costante rispetto ad $y$, quindi una primitiva di $F_2$ è anche $x^2y+x+c$. Comunque, è normale che tu abbia avuto questa svista perché, in effetti, si capisce bene col metodo sistematico.
Il metodo sistematico è questo: noi cerchiamo $U$ tale che
$$\frac{\partial U}{\partial x}(x,y)=2xy+1$$
$$\frac{\partial U}{\partial y}(x,y)=x^2$$
Integrando la prima rispetto $x$ e ricordando che ogni funzione di $y$ è costante in $x$, posto $\phi=\phi(y)$ si ha:
$$U(x,y)=x^2y+x+\phi(y)$$
Quindi, rimane da stabilire chi è $\phi$: dato che vogliamo anche $\frac{\partial U}{\partial y}(x,y)=x^2$, derivando $U(x,y)=x^2y+x+\phi(y)$ rispetto a $y$ si ottiene
$$x^2=\frac{\partial U}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}[x^2y+x+\phi(y)]=x^2+\phi'(y)$$
Ossia $x^2=x^2+\phi'(y)$, da cui segue che $\phi'(y)=0$ e quindi $\phi(y)=c$ con $c \in \mathbb{R}$.
Quindi, sostituendo l'espressione di $\phi$ in $U(x,y)=x^2y+x+\phi(y)$, abbiamo determinato completamente $U$: si ha
$$U(x,y)=x^2y+x+c$$
Il metodo sistematico è questo: noi cerchiamo $U$ tale che
$$\frac{\partial U}{\partial x}(x,y)=2xy+1$$
$$\frac{\partial U}{\partial y}(x,y)=x^2$$
Integrando la prima rispetto $x$ e ricordando che ogni funzione di $y$ è costante in $x$, posto $\phi=\phi(y)$ si ha:
$$U(x,y)=x^2y+x+\phi(y)$$
Quindi, rimane da stabilire chi è $\phi$: dato che vogliamo anche $\frac{\partial U}{\partial y}(x,y)=x^2$, derivando $U(x,y)=x^2y+x+\phi(y)$ rispetto a $y$ si ottiene
$$x^2=\frac{\partial U}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}[x^2y+x+\phi(y)]=x^2+\phi'(y)$$
Ossia $x^2=x^2+\phi'(y)$, da cui segue che $\phi'(y)=0$ e quindi $\phi(y)=c$ con $c \in \mathbb{R}$.
Quindi, sostituendo l'espressione di $\phi$ in $U(x,y)=x^2y+x+\phi(y)$, abbiamo determinato completamente $U$: si ha
$$U(x,y)=x^2y+x+c$$
si si avevo dimenticato di mettere +x ma poi ho modificato il messaggio
quindi a questo punto trovato il potenziale $U(x,y)$
dovrei sostituire le componenti di $U(1,1)$ e $U(0,0)$ alla x e alla y di $U$
e fare la differenza tra $U(1,1) - U(0,0)$
giusto ?
quindi l'integrale di $ F(x,y) $ lungo la curva $r(t)$ sarà uguale a $U(1,1) - U(0,0)$ cioè $2$
dovrei sostituire le componenti di $U(1,1)$ e $U(0,0)$ alla x e alla y di $U$
e fare la differenza tra $U(1,1) - U(0,0)$
giusto ?
quindi l'integrale di $ F(x,y) $ lungo la curva $r(t)$ sarà uguale a $U(1,1) - U(0,0)$ cioè $2$
Esatto. Se provi a calcolarlo con la definizione, ti deve venire lo stesso risultato!
Ho bloccato l'altro topic perché non hai modificato il titolo. Se non modifichi il titolo neanche qui dovrò bloccare pure questo. Elimina il tutto maiuscolo, grazie
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