L'integrale della somma non è la somma degli integrali (pare!)
Buongiorno a tutti,
mi è appena successa una cosa brutta che ha distrutto tutto quel (poco) che so della vita
Se $ C=A+B $ ,allora
$ int C= int (A+B) = int A + int B $
giusto?
parrebbe di no:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[%28a*y+%2B+y%29%2F%28x^2+%2B+y^2%29+%2B+a+2+x+%2F%28x^2+%2B+y^2%29%2C+x]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[%28a*y+%2B+y%29%2F%28x^2+%2B+y^2%29%2C+x]+%2B+++Integrate+[+a+2+x+%2F%28x^2+%2B+y^2%29%2C+x]
C'è qualcuno che vuole spiegarmi cosa sta succedendo? Perchè spezzando l'integrale viene un risultato diverso? (c'è un meno e l'arcotangente prende come argomento l'inverso di quello che prende quando l'integrale è unico)
Tra l'altro io per farlo, a mano s'intende, lo spezzo e quindi mi viene sempre +arctan(x/y). Mi domando quante volte ho sbagliato nella vita senza mai accorgermene.
grazie!
mi è appena successa una cosa brutta che ha distrutto tutto quel (poco) che so della vita
Se $ C=A+B $ ,allora
$ int C= int (A+B) = int A + int B $
giusto?
parrebbe di no:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[%28a*y+%2B+y%29%2F%28x^2+%2B+y^2%29+%2B+a+2+x+%2F%28x^2+%2B+y^2%29%2C+x]
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate[%28a*y+%2B+y%29%2F%28x^2+%2B+y^2%29%2C+x]+%2B+++Integrate+[+a+2+x+%2F%28x^2+%2B+y^2%29%2C+x]
C'è qualcuno che vuole spiegarmi cosa sta succedendo? Perchè spezzando l'integrale viene un risultato diverso? (c'è un meno e l'arcotangente prende come argomento l'inverso di quello che prende quando l'integrale è unico)
Tra l'altro io per farlo, a mano s'intende, lo spezzo e quindi mi viene sempre +arctan(x/y). Mi domando quante volte ho sbagliato nella vita senza mai accorgermene.
grazie!
Risposte
Un banalissimo risultato di Trigonometria assicura che:[nota]Nel seguito:
\[
\operatorname{sign}(x) = \begin{cases} 1 &\text{, se } x>0\\ -1 &\text{, se } x<0 \end{cases}\; .
\][/nota]
\[
\arctan \frac{1}{x} = \operatorname{sign} (x)\cdot \frac{\pi}{2} - \arctan x\; .
\]
Forse questo può aiutare...
\[
\operatorname{sign}(x) = \begin{cases} 1 &\text{, se } x>0\\ -1 &\text{, se } x<0 \end{cases}\; .
\][/nota]
\[
\arctan \frac{1}{x} = \operatorname{sign} (x)\cdot \frac{\pi}{2} - \arctan x\; .
\]
Forse questo può aiutare...
Attento, non fidarti ciecamente di wolfram. Sicuramente è fighissimo e fa un sacco di cose, però comunque utilizza metodi numerici per calcolare, ad esempio, gli integrali, ed a volte (raramente per fortuna) restituisce delle cavolate, specie se gli piazzi parametri o variabili mute. Io mi fiderei prima della teoria 
"poll89":
Attento, non fidarti ciecamente di wolfram. Sicuramente è fighissimo e fa un sacco di cose, però comunque utilizza metodi numerici per calcolare, ad esempio, gli integrali, ed a volte (raramente per fortuna) restituisce delle cavolate, specie se gli piazzi parametri o variabili mute. Io mi fiderei prima della teoria
Certamente, ma non è questo il caso. Qui si parla di integrali indefiniti, quindi niente metodi numerici. Invece di "non fidarsi" genericamente, meglio fare una cosa molto più precisa: ridare in pasto a wolfram stesso (o a un qualsiasi altro ambiente di calcolo simbolico) le primitive trovate.
Il calcolo della derivata di una espressione analitica è una operazione interamente meccanica e un software la fa bene di sicuro. Quindi, se riderivando il risultato si trova la funzione integranda, il risultato è giusto. Altrimenti è sbagliato. Questo elimina anche le incongruenze apparenti, come quella di questo thread.
Ok, ammetto le seguenti cose:
1- non conoscevo quella relazione trigonometrica
2- forse mi sono lasciato prendere un pochettinino dal panico
Grazie a tutti per le risposte.
p.s.
a chi interessasse: effettivamente ho fatto la prova della derivata. giustamente, in entrambi i casi ritorna l'integranda di partenza.
da grandi programmi di calcolo simbolico derivano grandi responsabilità
1- non conoscevo quella relazione trigonometrica
2- forse mi sono lasciato prendere un pochettinino dal panico
Grazie a tutti per le risposte.
p.s.
a chi interessasse: effettivamente ho fatto la prova della derivata. giustamente, in entrambi i casi ritorna l'integranda di partenza.
da grandi programmi di calcolo simbolico derivano grandi responsabilità
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