L'insieme dei vettori a norma unitaria è compatto?
Come da titolo, ho una domanda abbastanza secca da cui purtroppo non riesco a uscire nonostante le ore dedicatele.
Mi trovo in uno spazio vettoriale $X$ normato, di dimensione finita. Questo ovviamente è anche uno spazio metrico \(\displaystyle (X,d) \) dove \(\displaystyle d \) è la metrica naturale indotta dalla norma \(\displaystyle |\cdot |_X \).
In tale spazio individuiamo l'insieme dei vettori a norma unitaria \(\displaystyle X_1:=\{x\in X |\; |x|_X=1\} \).
Sono riuscito a dimostrare che tale insieme è chiuso in $(X,d)$. Non riesco in nessun modo a trovare un ragionamento che faccia vedere che $X_1$ è anche totalmente limitato (non so neanche se è vero), per poter concludere.
PS: con insieme totalmente limitato in uno spazio metrico intendo un insieme $A$ per cui, scelto un qualsiasi $\epsilon>0$, posso sempre trovare un suo sottoinsieme finito \(\displaystyle E=\{a_1,...,a_n\}\subset A \) che verifica:
$$\forall a\in A\exists a_i\in E : d(a,a_i)<\epsilon$$
Mi trovo in uno spazio vettoriale $X$ normato, di dimensione finita. Questo ovviamente è anche uno spazio metrico \(\displaystyle (X,d) \) dove \(\displaystyle d \) è la metrica naturale indotta dalla norma \(\displaystyle |\cdot |_X \).
In tale spazio individuiamo l'insieme dei vettori a norma unitaria \(\displaystyle X_1:=\{x\in X |\; |x|_X=1\} \).
Sono riuscito a dimostrare che tale insieme è chiuso in $(X,d)$. Non riesco in nessun modo a trovare un ragionamento che faccia vedere che $X_1$ è anche totalmente limitato (non so neanche se è vero), per poter concludere.
PS: con insieme totalmente limitato in uno spazio metrico intendo un insieme $A$ per cui, scelto un qualsiasi $\epsilon>0$, posso sempre trovare un suo sottoinsieme finito \(\displaystyle E=\{a_1,...,a_n\}\subset A \) che verifica:
$$\forall a\in A\exists a_i\in E : d(a,a_i)<\epsilon$$
Risposte
In dimensione finita tutto funziona come in $RR^n$.
Questa è una buona notizia che sicuramente mi sarà utile.
Purtroppo ancora non riesco a vedere che strada debba seguire per dimostrare la totale limitatezza: da quanto mi dici immagino che debba cercare di far vedere che siccome $X$ ha anche la struttura di spazio vettoriale, allora se un insieme $X_1$ è limitato (nel senso che trovo una palla in $X$ che contiene $X_1$) allora è anche totalmente limitato. In $\mathbb{R}^n$ dovrebbe funzionare così, no?
Purtroppo ancora non riesco a vedere che strada debba seguire per dimostrare la totale limitatezza: da quanto mi dici immagino che debba cercare di far vedere che siccome $X$ ha anche la struttura di spazio vettoriale, allora se un insieme $X_1$ è limitato (nel senso che trovo una palla in $X$ che contiene $X_1$) allora è anche totalmente limitato. In $\mathbb{R}^n$ dovrebbe funzionare così, no?
La dimostrazione è la stessa che in $RR^n$: basta ridurre tutto ad un problema unidimensionale e poi ragionare in termini di chiusura e limitatezza.
Non è che avresti un link, per favore?
Ci ho provato ma mi stanno venendo molte più domande che risposte e sto andando in loop...
Comunque sono riuscito ad arrivare a:
\(\displaystyle (X,|\cdot |_X) \) spazio vettoriale normato localmente compatto \(\displaystyle \iff \) la palla \(\displaystyle \widetilde{B}(0;1)=\{x\in X \;| \;|x|_X\leq 1\} \) è compatta.
Ora mi mancherebbe da far vedere che un qualsiasi spazio vettoriale normato di dimensione finita è sempre localmente compatto, ma non ci riesco.
PS: non sono riuscito a seguire il tuo consiglio perché non capisco come ricondurre uno spazio vettoriale normato qualsiasi a \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) con la sua solita topologia, anche quando la norma dello spazio vettoriale da cui parto non è la classica norma quadratica.
Ci ho provato ma mi stanno venendo molte più domande che risposte e sto andando in loop...
Comunque sono riuscito ad arrivare a:
\(\displaystyle (X,|\cdot |_X) \) spazio vettoriale normato localmente compatto \(\displaystyle \iff \) la palla \(\displaystyle \widetilde{B}(0;1)=\{x\in X \;| \;|x|_X\leq 1\} \) è compatta.
Ora mi mancherebbe da far vedere che un qualsiasi spazio vettoriale normato di dimensione finita è sempre localmente compatto, ma non ci riesco.
PS: non sono riuscito a seguire il tuo consiglio perché non capisco come ricondurre uno spazio vettoriale normato qualsiasi a \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) con la sua solita topologia, anche quando la norma dello spazio vettoriale da cui parto non è la classica norma quadratica.
Mmmm... Effettivamente forse sono stato un po' brutale su una cosa che mi va in automatico da considerare vera, ma che non pratico da un po'.
Se non erro, si dimostra che la palla di uno spazio di Banach è compatta solo se lo spazio ha dimensione finita. Ma devo vedere come funziona la dimostrazione... Ci penso un po'.
Se non erro, si dimostra che la palla di uno spazio di Banach è compatta solo se lo spazio ha dimensione finita. Ma devo vedere come funziona la dimostrazione... Ci penso un po'.
Trovato tutto ciò che occorre qui: https://courses.maths.ox.ac.uk/node/view_material/42040 (sezione 4).
Grazie
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