Link sulle basi delle equazioni differenziali (per Fisica)

[gygabyte017]

Salve a tutti, seguendo il corso di fisica I, il prof ha spesso fatto cose del genere:
$d theta=omegadt => int_0^{theta}d theta=int_0^t omegadt => theta(t)=omegat$ (riferito p.e. al moto circolare informe)
chiamandola "equazione differenziale" .

Il problema è che attualmente non abbiamo fatto assolutamente niente di equazioni differenziali, quindi io "ad occhio" ho capito cosa ha fatto, però se mi capita ad esempio una cosa del tipo: $m {dv}/{dt}=mg-gamma v^2$ (dove $v$ è la velocità in funzione del tempo $t$, e bisognava appunto trovare la funzione $v(t)$), non so assolutamente come muovermi... Ho provato a tentativi, moltiplicando tutto per $dt$ e integrando (senza successo), però mi serve una solida conoscenza di base di queste cose...

Sapete consigliarmi un link che dia le basi per la risoluzione delle equazioni differenziali? Ho cercato sul mio libro di analisi, ma ci stanno capitoli interi su questo argomento, tutto nel massimo dettaglio possibile, mentre io avrei bisogno di qualcosa di più "superficiale" tanto per saper fare gli esercizi.... Poi quando farò nel corso futuro di analisi le studierò come si deve.....

Grazie!

[Lord K]

"gygabyte017":Ho provato a tentativi, moltiplicando tutto per $dt$ e integrando (senza successo), però mi serve una solida conoscenza di base di queste cose...

Hai ragione, infatti non si "moltiplica" per $dt$!!!! Lo fanno solo i fisici per questioni di comodità e paciosa pigrizia

A parte gli scherzi le cose sono un poco differenti... una equazione differenziale è una equazione che ammette come soluzione una funzione (o una famiglia di funzioni) ed è espressa come funzione delle sue derivate. in generale una ODE (Ordinary Differential Equation - Equazione differenziale Ordinaria) è scritta come:

$f(x,y,y',y''...,y^((n)))=0$

ed una condizione iniziale:

$y(0)=x_0$

dove $n$ è l'ordine dell'equazione differenziale ordinaria, nota che $y=y(x)$ ovvero funzione in una variabile (generalmente reale).

Ovviamente le cose possono di molto complicarsi e anzichè chiedere che $f:RR rightarrow RR$ potremmo chiedere che $f:RR^m rightarrow RR^n$ con anzichè una condizione per un punto, una serie di condizioni in regioni particolari dello spazio (condizioni al bordo o al contorno) ed in questo caso le ODE diventano PDE (Partially Differential Equations - Equazioni diferenziali alle derivate parziali) in quanto il differenziale totale è esprimibile come somma di differenziali parziali.

Un esempio di queste è l'equazione di diffusione del calore:

$(delu)/(delt) - k*((del^2u)/(delx^2)+(del^2u)/(dely^2)+(del^2u)/(delz^2))=0$

Con $t$ il tempo, e le altre sono le coordinate dello spazio.

Per il modo di risolverle ti consiglio vivamente il metodo Urang Utang per ora... sperando poi che tu possa studiare il tutto approfonditamente e dimenticarlo

modifiche: per scrivere tutto!

[gygabyte017]

Ti ringrazio... Allora mi leggerò il doc di Fioravante Patrone

[Fioravante Patrone1]

Buona lettura

[gygabyte017]

Grazie

Mi potreste dare intanto un'indicazione di come risolvere l'esecizio del primo post, e cioè $m {dv}/{dt] = mg - gamma v^2$ (magari proprio col metodo Urang Utang:D) ? Così mi faccio un idea di come si svolge in pratica...

Grazie

[Fioravante Patrone1]

"gygabyte017":Grazie

Mi potreste dare intanto un'indicazione di come risolvere l'esecizio del primo post, e cioè $m {dv}/{dt] = mg - gamma v^2$ (magari proprio col metodo Urang Utang:D) ? Così mi faccio un idea di come si svolge in pratica...

Grazie

A parte le considerazioni sul secondo membro che non si annulla, che ti lascio, si tratta di risolvere un integale.
Infatti si ha:
$\int \frac{m v'(t)}{mg - gamma v^2(t)} dt = \int 1 dt$
ovvero (usando la sostituzione $s = v(t)$):
$\int \frac{m}{mg - gamma s^2} ds = \int 1 dt$

Per le giustificazioni del metodo usato (che non è quello urang-utang©), puoi vedere gli appunti citati nella mia "firma".