Linee di livello $f(x,y)=sin(\pix)sin(\piy)$
Come da titolo,
come posso disegnare le linee di livello $f(x,y)=0.8$ e $f(x,y)=0.5$?
$f(x,y)=sin(\pix)sin(\piy)$
Sono giunto a questo:
$sin(\pi y)=\frac{0.5}{sin(\pi x)}$
$ y=arcsin (\frac{0.5}{sin(\pi x)})/\pi$
Condizione:
$-1\leq \frac{0.5}{sin(\pi x)}\leq 1 \wedge sin(\pi x)\ne 0$
Disegnandola su wolfram mi vengono delle csc. Però le linee di livello sarebbero una sorta di cerchi.
come posso disegnare le linee di livello $f(x,y)=0.8$ e $f(x,y)=0.5$?
$f(x,y)=sin(\pix)sin(\piy)$
Sono giunto a questo:
$sin(\pi y)=\frac{0.5}{sin(\pi x)}$
$ y=arcsin (\frac{0.5}{sin(\pi x)})/\pi$
Condizione:
$-1\leq \frac{0.5}{sin(\pi x)}\leq 1 \wedge sin(\pi x)\ne 0$
Disegnandola su wolfram mi vengono delle csc. Però le linee di livello sarebbero una sorta di cerchi.
Risposte
Secondo me prima di buttarti sulle soluzione analitiche dovresti ragionare sulle proprietà della funzione in sé.
Mi sembra evidente che ci si possa restringere all'insieme \(\displaystyle [0,2]\times[0,2] \). Inoltre, essendo \(\displaystyle 0.5 \) e \(\displaystyle 0.8 \) maggiori di \(\displaystyle 0 \) allora ci si può limitare ai due insiemi \(\displaystyle [0,1]\times[0,1] \) e \(\displaystyle [1,2]\times[1,2] \). Vi è inoltre una certa simmetria tra i due insiemi, quindi tanto vale analizzare l'insieme \(\displaystyle [0,1]\times[0,1] \).
Risulta inoltre immediato che \(\displaystyle f(a,b) = f(1-a,b) = f(a, 1-b) = f(1-a, 1-a) \) per ogni \(\displaystyle a\in [0,1] \) e che \(\displaystyle f^{-1}(0.5) \) è simmetrico rispetto alla bisettrice \(\displaystyle y = x \). Per l'iniettività della funzione seno nell'intervallo \(\displaystyle [0,0.5] \), ogni segmento \(\displaystyle \{ (a, b) : 0\le b\le 1 \} \) interseca \(\displaystyle f^{-1}(0.5) \) in al più due punti. Per \(\displaystyle a \in \{1/6, 5/6 \} \), \(\displaystyle 1-b \) e \(\displaystyle b \) coincidono con \(\displaystyle 0.5 \) e per \(\displaystyle 1/6< a<5/6 \) le intersezioni sono esattamente due. Stesso dicasi ovviamente per i segmenti verticali.
Siccome \(\displaystyle \max_{0\le x\le 1} \sin \pi x = 1 \) allora è evidente che \(\displaystyle f^{-1}(0.5) \) non abbia soluzioni al di fuori di \(\displaystyle [1/6, 5/6]\times[1/6,5/6] \) (a meno delle soluzioni al di fuori di \(\displaystyle [0,1]\times[0,1] \) ovviamente).
Come vedi le similitudini con una circonferenza ce ne sono. Non ho cercato di dimostrare che sia effettivamente una circonferenza, quindi non posso ne confermare ne confutare. Un modo per dimostrarlo sarebbe usare la sostituzione \(\displaystyle x = \frac12 + \frac23\cos z \) e \(\displaystyle y = \frac12 + \frac23\sin z \) e vedere cosa ti esce fuori (probabilmente però niente di buono).
Per 0.8 le osservazioni sono del tutto analoghe.
Mi sembra evidente che ci si possa restringere all'insieme \(\displaystyle [0,2]\times[0,2] \). Inoltre, essendo \(\displaystyle 0.5 \) e \(\displaystyle 0.8 \) maggiori di \(\displaystyle 0 \) allora ci si può limitare ai due insiemi \(\displaystyle [0,1]\times[0,1] \) e \(\displaystyle [1,2]\times[1,2] \). Vi è inoltre una certa simmetria tra i due insiemi, quindi tanto vale analizzare l'insieme \(\displaystyle [0,1]\times[0,1] \).
Risulta inoltre immediato che \(\displaystyle f(a,b) = f(1-a,b) = f(a, 1-b) = f(1-a, 1-a) \) per ogni \(\displaystyle a\in [0,1] \) e che \(\displaystyle f^{-1}(0.5) \) è simmetrico rispetto alla bisettrice \(\displaystyle y = x \). Per l'iniettività della funzione seno nell'intervallo \(\displaystyle [0,0.5] \), ogni segmento \(\displaystyle \{ (a, b) : 0\le b\le 1 \} \) interseca \(\displaystyle f^{-1}(0.5) \) in al più due punti. Per \(\displaystyle a \in \{1/6, 5/6 \} \), \(\displaystyle 1-b \) e \(\displaystyle b \) coincidono con \(\displaystyle 0.5 \) e per \(\displaystyle 1/6< a<5/6 \) le intersezioni sono esattamente due. Stesso dicasi ovviamente per i segmenti verticali.
Siccome \(\displaystyle \max_{0\le x\le 1} \sin \pi x = 1 \) allora è evidente che \(\displaystyle f^{-1}(0.5) \) non abbia soluzioni al di fuori di \(\displaystyle [1/6, 5/6]\times[1/6,5/6] \) (a meno delle soluzioni al di fuori di \(\displaystyle [0,1]\times[0,1] \) ovviamente).
Come vedi le similitudini con una circonferenza ce ne sono. Non ho cercato di dimostrare che sia effettivamente una circonferenza, quindi non posso ne confermare ne confutare. Un modo per dimostrarlo sarebbe usare la sostituzione \(\displaystyle x = \frac12 + \frac23\cos z \) e \(\displaystyle y = \frac12 + \frac23\sin z \) e vedere cosa ti esce fuori (probabilmente però niente di buono).
Per 0.8 le osservazioni sono del tutto analoghe.
gentilissimo, domani mattina riprendo l'esercizio. Intanto: analiticamente ci sono passaggi errati?
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