Linearizzazioni e Polinomio di Taylor
Salve!
Oggi si parla del Polinomio di Taylor.
Nel libro che ho io si dice che la formula è $P_n(x) = f(a) + (f^n (a))/(n!) *(x-a)^n$ giusto no?
Ma visto che poi si dice che si esegue il polinomio fino al grado $n$ supportato dalla funzione, mi chiedo se non sarebbe meglio esprimere tale formula come la soma delle linearizzazioni di grado $n$ fino a $n$ supportato dalla funzione, ossia:
$P_n(x) = \sum _0 ^n f(a) + (f^n (a))/(n!) *(x-a)^n$
...che ne dite ?
Vorrei poi avere una mano (se possibile) con questo ....
...riguarda la formula d'errore della linearizzazione
Oggi si parla del Polinomio di Taylor.
Nel libro che ho io si dice che la formula è $P_n(x) = f(a) + (f^n (a))/(n!) *(x-a)^n$ giusto no?
Ma visto che poi si dice che si esegue il polinomio fino al grado $n$ supportato dalla funzione, mi chiedo se non sarebbe meglio esprimere tale formula come la soma delle linearizzazioni di grado $n$ fino a $n$ supportato dalla funzione, ossia:
$P_n(x) = \sum _0 ^n f(a) + (f^n (a))/(n!) *(x-a)^n$
...che ne dite ?
Vorrei poi avere una mano (se possibile) con questo ....
...riguarda la formula d'errore della linearizzazione
Risposte
Posso risponderti facilmente alla prima domanda. Mi risulta che il polinomio di Taylor di grado n si possa scrivere come:
$P_n(x) = \sum _"k=0" ^n (f^k (a))/(k!) *(x-a)^k$
In tale somma è inclusa anche f(a), come primo addendo.
Quindi, la prima formula che hai scritto mi sembra un po' strana...
Se mi fai una domanda più diretta ti posso spiegare meglio. Ciao!
$P_n(x) = \sum _"k=0" ^n (f^k (a))/(k!) *(x-a)^k$
In tale somma è inclusa anche f(a), come primo addendo.
Quindi, la prima formula che hai scritto mi sembra un po' strana...
Se mi fai una domanda più diretta ti posso spiegare meglio. Ciao!
Hai ragione , non mi ero accorto che in quel modo $f(0)$ viene sommato ad ogni successione.
Però scopro solo adesso che $0! = 1$
......
... perchè questa strana definizione del fattoriale di $0$ ?
Sulla dimostrazione non mi puoi aiutare ?
Però scopro solo adesso che $0! = 1$
...... ... perchè questa strana definizione del fattoriale di $0$ ?
Sulla dimostrazione non mi puoi aiutare ?
Non vorrei sbagliarmi, ma credo che si ponga per convenzione 0!=1 proprio perchè si possa ottenere una forma compatta per formule di questo tipo... Sulla dimostrazione non sono al momento in grado di aiutarti perchè devo aver studiato quegli argomenti con nomenclature un po' diverse (l'errore di linearizzazione è il resto?). Però, potrei arrivarci, se intanto mi dici cos'e L(x)...
.azzo che caos! E che orribile terminologia.
Probabilmente L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) cosicchè E(x) dovrebbe essere l'errore approssimando al primo ordine.
Ma ciò detto vorrei far notare che le due formule date per P_n non solo sono sbagliate ( la prima non è il polinomio di Taylor, la seconda non ha senso e non per f(a) all'interno di Sum, ma per gli indici chiamati con n) ma più che formule sono definizioni.
E Taylor non avrebbe alcuna importanza nella storia della matematica se si fosse limitato ad enunciare : prendiamo un polinomio di grado n, della forma.... e chiamiamolo P_n(x).
Se quanto riportato è davvero scritto nel libro di testo mi permetto di consigliarne un uso solo come combustibile cosa perlatro assai utile in questi giorni, visto il freddo e la penuria di gas!
Probabilmente L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) cosicchè E(x) dovrebbe essere l'errore approssimando al primo ordine.
Ma ciò detto vorrei far notare che le due formule date per P_n non solo sono sbagliate ( la prima non è il polinomio di Taylor, la seconda non ha senso e non per f(a) all'interno di Sum, ma per gli indici chiamati con n) ma più che formule sono definizioni.
E Taylor non avrebbe alcuna importanza nella storia della matematica se si fosse limitato ad enunciare : prendiamo un polinomio di grado n, della forma.... e chiamiamolo P_n(x).
Se quanto riportato è davvero scritto nel libro di testo mi permetto di consigliarne un uso solo come combustibile cosa perlatro assai utile in questi giorni, visto il freddo e la penuria di gas!
Allora .....vediamo dove ho messo i cerini....... ah eccoli
....credo che comunque che la sommatoria esposta da amel sia corretta, infatti il polinomio di grado $n$ come ripeto non è altro che la somma dei poinomi con grado da $0$ ad $n$.
Quindi mi sembra legale scriverlo con quella sommatoria.
Per quanto riguarda le critiche sulle definizioni ottusangolo, non ho capito a cosa ti riferivi di preciso. Comunque l'immagine è di uno scritto che ho scritto io el'ho preso dal libro. Ripeto quella è una DIMOSTRAZIONE, non una formula. Dimostrazione per induzione del fatto che la formula seguente è valida:
$E = (f^('')(a))/(2!) *(x-a)^2$
....e infatti ho dimenticato di scrivere $!2$ e ho scritto solo $2$. Ma il resto è tutto ricopiato dal libro.
Quindi vorrei capire il percorso logico che porta a quel tipo di dimostrazione .....tutto quì
....credo che comunque che la sommatoria esposta da amel sia corretta, infatti il polinomio di grado $n$ come ripeto non è altro che la somma dei poinomi con grado da $0$ ad $n$.
Quindi mi sembra legale scriverlo con quella sommatoria.
Per quanto riguarda le critiche sulle definizioni ottusangolo, non ho capito a cosa ti riferivi di preciso. Comunque l'immagine è di uno scritto che ho scritto io el'ho preso dal libro. Ripeto quella è una DIMOSTRAZIONE, non una formula. Dimostrazione per induzione del fatto che la formula seguente è valida:
$E = (f^('')(a))/(2!) *(x-a)^2$
....e infatti ho dimenticato di scrivere $!2$ e ho scritto solo $2$. Ma il resto è tutto ricopiato dal libro.
Quindi vorrei capire il percorso logico che porta a quel tipo di dimostrazione .....tutto quì
Ciao! 
Usa pure i cerini! E non dirmi che si tratta di un testo universitario!
Temo di aver capito perchè non capivo la dimostrazione: è sbagliata!
Ma andiamo con ordine:
Quanto scritto da Amel va bene io mi riferivo a quello che avevi scritto te e non c'entra
aver scritto f(a) dentro il simbolo di sommatoria, è poco elegante ma si capisce, sono gli indici che non vanno: io leggo una somma per n che va da 0 a n che significa? k va da 0 (anzi da 1 se ci metti dentro f(a)) a n .
P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+..... ha ben poco della formula è solo una definizione: significa consideriamo il polinomio P_n(x)=..... A proposito è detto POLINOMIO DI TAYLOR
Quello che conta è il fatto che questo polinomio sotto certe hp approssima f(x) in un intorno di a , esattamente| f(x)-P_n(x)| tende azero per n che va ad infinito.In altre parole quanto + n è
grande tanto + il valore che P_n assume in x si avvicina a quello che assume f (semprechè x cada in un intorno opportuno di a).
La pseudo-dimostrazione per calcolare il resto ,supposto che con E(x) intendi questo, cioè l'errore che si commette approssimando f(x) con il suo pol.di T. troncato al primo ordine
E(x)=f(x)-[ f(a)+f'(a)(x-a)]
dovrebbe essere questa
E(x)/(x-a)^2= E(x)-E(a)/(x-a)^2 essendo E(a)=f(a)-f(a)=0
Ma per il teor della media
E(x)-E(a)=E'(c)(x-a) e sempre per tale teor applicato a g(x)=(x-a)^2 (n.b. g'(x)=2(x-a) )
da cui g(x)-g(a)=g'(&)(x-a)
(x-a)^2=2(&-a)(x-a)
E qui cade l'asino! Che non è Taylor! ( Se questa dim fosse vera qualcuno molto meno brillante di Taylor lo avrebbe da tempo preceduto!)
NIENTE CI DICE CHE &=C ED ANZI, IN GENERE, NON LO E'
COSI' NON SI PUO' SOSTITUIRE E SEMPLIFICARE E QUINDI PORTARE A TERMINE QUESTA ORRIBILE DIMOSTRAZIONE applicando il teor della media ancora una volta a f'(x)
Ma io non lo farò, preferisco fermarmi qui!
P.S. Ovviamente se ho interpretato bene quello che hai scritto perchè non è mica scontato risponderti se non dici esplicitamente cosa è L(x).Ma se ho visto giusto e, come spero, ti ho aiutato puoi dirmi l'autore del famigerato testo?
Usa pure i cerini! E non dirmi che si tratta di un testo universitario!
Temo di aver capito perchè non capivo la dimostrazione: è sbagliata!
Ma andiamo con ordine:
Quanto scritto da Amel va bene io mi riferivo a quello che avevi scritto te e non c'entra
aver scritto f(a) dentro il simbolo di sommatoria, è poco elegante ma si capisce, sono gli indici che non vanno: io leggo una somma per n che va da 0 a n che significa? k va da 0 (anzi da 1 se ci metti dentro f(a)) a n .
P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+..... ha ben poco della formula è solo una definizione: significa consideriamo il polinomio P_n(x)=..... A proposito è detto POLINOMIO DI TAYLOR
Quello che conta è il fatto che questo polinomio sotto certe hp approssima f(x) in un intorno di a , esattamente| f(x)-P_n(x)| tende azero per n che va ad infinito.In altre parole quanto + n è
grande tanto + il valore che P_n assume in x si avvicina a quello che assume f (semprechè x cada in un intorno opportuno di a).
La pseudo-dimostrazione per calcolare il resto ,supposto che con E(x) intendi questo, cioè l'errore che si commette approssimando f(x) con il suo pol.di T. troncato al primo ordine
E(x)=f(x)-[ f(a)+f'(a)(x-a)]
dovrebbe essere questa
E(x)/(x-a)^2= E(x)-E(a)/(x-a)^2 essendo E(a)=f(a)-f(a)=0
Ma per il teor della media
E(x)-E(a)=E'(c)(x-a) e sempre per tale teor applicato a g(x)=(x-a)^2 (n.b. g'(x)=2(x-a) )
da cui g(x)-g(a)=g'(&)(x-a)
(x-a)^2=2(&-a)(x-a)
E qui cade l'asino! Che non è Taylor! ( Se questa dim fosse vera qualcuno molto meno brillante di Taylor lo avrebbe da tempo preceduto!)
NIENTE CI DICE CHE &=C ED ANZI, IN GENERE, NON LO E'
COSI' NON SI PUO' SOSTITUIRE E SEMPLIFICARE E QUINDI PORTARE A TERMINE QUESTA ORRIBILE DIMOSTRAZIONE applicando il teor della media ancora una volta a f'(x)
Ma io non lo farò, preferisco fermarmi qui!
P.S. Ovviamente se ho interpretato bene quello che hai scritto perchè non è mica scontato risponderti se non dici esplicitamente cosa è L(x).Ma se ho visto giusto e, come spero, ti ho aiutato puoi dirmi l'autore del famigerato testo?
Cerini! .........a me! 
Hai tutto il mio appoggio nel dire che il libro non è un gran chè. In generale è risultato non adatto a me, un pò per la sua brevità nella spiegazione delle definizioni e per la sua ermeticità nell'esporre alcuni teoremi.
In generale me ne sono servito, e dopo aver corretto alcune lagune che avevo, sono riuscito ad usarlo di più, ma per chì non ha la preparazione è come scalare il K2 partendo da zero.
Adesso capisco anch'io perchè non riuscivo ad arrivare alla dimostrazione ..... perchè era fatta male.
Adesso rivedo la tua versione e vedo di capirci qualcosa di più.
Questa dimostrazione mi serviva per capire la dimostrazione della Formula di Taylor o meglio della componente "Resto di Lagrange" in esso usata, che altro non è che un $E(x)$ generalizzato al grado $n$ ....una cosa del tipo: $E_n(x)=(f^(n+1)(X))/((n+1)!) * (x-a)^(n+1)$
...che poi sto $X$ x grande ho capito solo che è $in ]a,x[$ ma della sua utilita....... nada.
Se ci fai caso infatti sia nella formula del resto che ho scritto all'inizio sia in quella generalizzata (resto di Lagrange ) si usa $X$ ....il motivo, non lo so.
Comunque Grazie! Mi sei stato di grande aiuto!
Hai tutto il mio appoggio nel dire che il libro non è un gran chè. In generale è risultato non adatto a me, un pò per la sua brevità nella spiegazione delle definizioni e per la sua ermeticità nell'esporre alcuni teoremi.
In generale me ne sono servito, e dopo aver corretto alcune lagune che avevo, sono riuscito ad usarlo di più, ma per chì non ha la preparazione è come scalare il K2 partendo da zero.
Adesso capisco anch'io perchè non riuscivo ad arrivare alla dimostrazione ..... perchè era fatta male.
Adesso rivedo la tua versione e vedo di capirci qualcosa di più.
Questa dimostrazione mi serviva per capire la dimostrazione della Formula di Taylor o meglio della componente "Resto di Lagrange" in esso usata, che altro non è che un $E(x)$ generalizzato al grado $n$ ....una cosa del tipo: $E_n(x)=(f^(n+1)(X))/((n+1)!) * (x-a)^(n+1)$
...che poi sto $X$ x grande ho capito solo che è $in ]a,x[$ ma della sua utilita....... nada.
Se ci fai caso infatti sia nella formula del resto che ho scritto all'inizio sia in quella generalizzata (resto di Lagrange ) si usa $X$ ....il motivo, non lo so.
Comunque Grazie! Mi sei stato di grande aiuto!
Ok adesso capisco cosa vuoi dire. Innanzi tutto quando usi il poinomio di Taylor, sei sempre tenuto ad usarlo solo in un piccolo intervallo, perchè imnfatti esso è una approssimazione locale della funzione. Facciamo conto che sia: $x\in[a,b]$. La $X$, che nel mio libro è chiamata $z(x)$ sta a significare che può esser un valore compreso nell'intervallo $]a,b[$. Questo deriva dal fatto che noi non sappiamo a priori quale può esser l'errore commesso nell'approssimare la funzione con il polinomio, ma sappiamo certamente che è inferiore a $\max_{(a,b)}((f^(n+1)(X))/((n+1)!) (x-a)^(n+1))$. Quindi come capirai l'importante è capire quale di quei punti massimizza il valore del resto. Una volta scoperto ciò sei allora sicuro che per l'errore vale: $E\le\max_{(a,b)}(E_n(x))$
A scusa ......il testo è:
....premetto che apprezzo il lavoro del l'autore e mi inchino al suo lavoro
perchè in fondo è un buon lavoro, ma un conto è scrivere un libro accessibile da tutti e un conto è scrivere un libro che lo possono leggere, un altro po, solo i laureati in matematica.
La prossima volta sceglieroò [size=134]IO[/size] ....il testo invece di fidarmi ciecamente del Prof.
..vabbe insomma si chiama : Calcolo Differenziale - ROBERT A. ADAMS
....premetto che apprezzo il lavoro del l'autore e mi inchino al suo lavoro
perchè in fondo è un buon lavoro, ma un conto è scrivere un libro accessibile da tutti e un conto è scrivere un libro che lo possono leggere, un altro po, solo i laureati in matematica.La prossima volta sceglieroò [size=134]IO[/size] ....il testo invece di fidarmi ciecamente del Prof.
..vabbe insomma si chiama : Calcolo Differenziale - ROBERT A. ADAMS
Grazie cavallipurosangue ! 
Si .... diciamo che l'avevo capito questo. Quindi il valore risultante da $(f''(X))/(2!)*(x-a)^2$ si avvicina di più a $E(x)$ del valore risultante da $(f''(x))/(2!)*(x-a)^2$
Tuttavia mi sembra che questa formula sia inadeguata nei casi in cui la funzione non supporti la derivata seconda. In quei casi il semplice $E(x) = f(x) - L(x)$ è la cosa migliore. Ma allora perchè se la funzione supporta la derivata seconda, io debbo andare a complicarmi la vità?
Cioè non è più facile fare questo $E(x) = f(x) - L(x)$ piuttosto che questo $(f''(X))/(2!)*(x-a)^2$ ? .....contado poi che con la seconda formula devo fare più calcolo e ho meno precisione.......
Forse la formula del resto così messa è più utile per instrodurre il Resto di Lagrange che per calcolare effettivamente l'Errore di linearizzazione.
Si .... diciamo che l'avevo capito questo. Quindi il valore risultante da $(f''(X))/(2!)*(x-a)^2$ si avvicina di più a $E(x)$ del valore risultante da $(f''(x))/(2!)*(x-a)^2$
Tuttavia mi sembra che questa formula sia inadeguata nei casi in cui la funzione non supporti la derivata seconda. In quei casi il semplice $E(x) = f(x) - L(x)$ è la cosa migliore. Ma allora perchè se la funzione supporta la derivata seconda, io debbo andare a complicarmi la vità?
Cioè non è più facile fare questo $E(x) = f(x) - L(x)$ piuttosto che questo $(f''(X))/(2!)*(x-a)^2$ ? .....contado poi che con la seconda formula devo fare più calcolo e ho meno precisione.......
Forse la formula del resto così messa è più utile per instrodurre il Resto di Lagrange che per calcolare effettivamente l'Errore di linearizzazione.
Quello che dici è solo un sottoinsieme delle cose che puoi fare con il metodo del resto di Lagrange. $L(x)$ è il resto di ordine 1 infatti. Tu mi chiedi che senso abbia complicarsi la vita andando avanti... ebbene il senso è questo: aumentendo l'ordine del resto, si ha sempre una migliore approssimazione!
Dunque un testo universitario! 
E tu Bemi dovresti essere un futuro ( spero molto prossimo) ingegnere informatico,(indovinato? Azzardo ancora ,studi al pol. di Milano?).
Non conosco il testo e mi fido se dici che cerca di spiegare cose difficili in modo semplice ma ciù non mi sembra autorizzi ad ARRIVARE A RISULTATI GIUSTI CON DIMOSTRAZIONI FALSE PERCHE' CONCETTUALMENTE SBAGLIATE.
Questo mi sembra molto peggio che dare una formula senza spiegare come si dimostra!
A riprova credo che tu abbia ancora ( e non per tuo demerito) le idee un po' confuse.
Vorrei ti fosse chiaro che quanto da me fatto è una ricostruzione, una spiegazione, esplicitando tutti i passaggi ,di quella che dovrebbe essere la dim sul libro che però (se è davvero quella dedotta da ciò che hai riportato!) dimostra "barando" e quindi non dimostra nulla
Come dire la derivata di x^2 in zero è zero perchè 0^2=0 e la derivata di una costante è nulla!
Purtroppo non conosco dim semplicissime; bisogna passare dal resto in forma integrale (credo si chiami di Peano, o semplicemente di T.)che si dim senza troppe difficoltà per induzione e poi far uso del teor della media generalizzato ( e tale generalizzazione non è affatto difficile)
E tu Bemi dovresti essere un futuro ( spero molto prossimo) ingegnere informatico,(indovinato? Azzardo ancora ,studi al pol. di Milano?).Non conosco il testo e mi fido se dici che cerca di spiegare cose difficili in modo semplice ma ciù non mi sembra autorizzi ad ARRIVARE A RISULTATI GIUSTI CON DIMOSTRAZIONI FALSE PERCHE' CONCETTUALMENTE SBAGLIATE.
Questo mi sembra molto peggio che dare una formula senza spiegare come si dimostra!
A riprova credo che tu abbia ancora ( e non per tuo demerito) le idee un po' confuse.
Vorrei ti fosse chiaro che quanto da me fatto è una ricostruzione, una spiegazione, esplicitando tutti i passaggi ,di quella che dovrebbe essere la dim sul libro che però (se è davvero quella dedotta da ciò che hai riportato!) dimostra "barando" e quindi non dimostra nulla
Come dire la derivata di x^2 in zero è zero perchè 0^2=0 e la derivata di una costante è nulla!
Purtroppo non conosco dim semplicissime; bisogna passare dal resto in forma integrale (credo si chiami di Peano, o semplicemente di T.)che si dim senza troppe difficoltà per induzione e poi far uso del teor della media generalizzato ( e tale generalizzazione non è affatto difficile)
.....dovresti essere un futuro ( spero molto prossimo) ingegnere informatico
Diciamo non prestissimo ....
,visto che sono al secondo anno e mi mancano ancora 4 esami del primo anno, però non mi lamento visto che vengo dall'ITC e di Indormatica e di Matematica non sapevo un H, e ho scelto questo indirizzo prorpio per questo, per avvicinarmi di nuovo alla scienza e alle tecnoogie, cultura oggi che chiunque ha bisogno di possedere, vista la tale evoluzione che stiamo subendo.Azzardo ancora ,studi al pol. di Milano?
...occhio a giocare d'azzardo
, comunque no, non hai indovinato, Studio a Roma, a "La Sapienza", e non faccio ingegnieria però, ma scienze informatiche.....diciamo che non ha la rigidità di ingegnieria, in quanto a propedeuticità e ritmi, ma è comunque impegnativa, anche se avrei preferito avere dei trimestri (come a ingegneria) invece che dei semestri, perchè tanto 5 materie non ce la fai a portarle avanti tutte neanche in un semestre(4 mesi). Le materie sono simili ad ingegnieria, ma molto più incentrate sugli algoritmi e il software, piuttosto che sull'hardware e l'elettronica (che noi facciamo solo a livello logico di AND OR NAND XOR FlipFlop ....etc...), carenza poi che ho cercato subito di colmare comprandomi un bel librozzo di elettronica , che non quasi mai il tempo di leggere, ma pian piano.....Purtroppo non conosco dim semplicissime; bisogna passare dal resto in forma integrale (credo si chiami di Peano, o semplicemente di T.)che si dim senza troppe difficoltà per induzione e poi far uso del teor della media generalizzato ( e tale generalizzazione non è affatto difficile)
Il teorema che dici tu è forse questo?
http://digilander.libero.it/Bemipefe/Ar ... 0Medio.pdf
..si lo sò è una porcheria quello che ho scritto, ma a me serve per capire la logica delle formule, ed entrar.e un pò più nel merito, altrimenti dovrei semplicemente registrare nella mente la formula, che non ricorderei mai se ad essa non associo altre informazioni......sembra strano ma più le cose sono grandi (e importanti) e più il cervello le assimila meglio.....
Quello che dici è solo un sottoinsieme delle cose che puoi fare con il metodo del resto di Lagrange. $L(x)$ è il resto di ordine 1 infatti. Tu mi chiedi che senso abbia complicarsi la vita andando avanti... ebbene il senso è questo: aumentendo l'ordine del resto, si ha sempre una migliore approssimazione!
Bemipefe
Si quello che dici è corretto , comunque il resto di Lagrange io lo scrivo $E_n(x)$ che è la generalizzazione al grado $n$ di E(x). In ogni caso io mi riferivo al fatto di dover usare una formula com $E_n(x)$ per calcolare l'errore di linearizzazione, quando esiste una comoda e precisa $E(x) = f(x) - L(x)$ ....ecco perchè dicevo che forse $E_n(x)$ è più usata nella formula di Taylor $f(x) = P_n(x) + E_n(x)$ che per trovare l'errore di linearizzazione.
Per avere la formula del resto di Lagrange (quello del tipo f'(a)/ecc. ) non è indispensabile passarre per il resto integrale, quello che è indispensabile è il teorema del valor medio di Lagrange; poi, per dimostrare il tutto induttivamente, si può anche usare il teorema di De l'Hopital e qualcosetta in più, evitando il calcolo integrale. Comunque, una dimostrazione semplice e soprattutto breve delle formule di Taylor non mi pare che proprio possa esistere...
Vuoi un consiglio? Più che bruciarlo il libro, usalo per gli enunciati dei teoremi e per le dimostrazioni che ti sono chiarissime, per le altre non è vietato consultare altri libri, anzi...
Vuoi un consiglio? Più che bruciarlo il libro, usalo per gli enunciati dei teoremi e per le dimostrazioni che ti sono chiarissime, per le altre non è vietato consultare altri libri, anzi...
NO, Bemi; quello che mi hai indicato non è il teor del valor medio
e dubito che possa definirsi teorema.
Già un teor che esordisce con " può accadere che..." fa storcere il naso
su quel che segue poi.........
Ma a questo punto mi chiedo se hai riportato fedelmente quanto scritto
nell'Adams o se invece è una tua interpretazione.
Nel qual caso mi scuso con Mr. Adams per aver preso in considerazione
l'ipotesi che un docente universitario possa commettere un simile errore!
Per quanto riguarda il teor del valor medio puoi trovarlo in ogni testo di analisi.
Ciao
e dubito che possa definirsi teorema.
Già un teor che esordisce con " può accadere che..." fa storcere il naso
su quel che segue poi.........
Ma a questo punto mi chiedo se hai riportato fedelmente quanto scritto
nell'Adams o se invece è una tua interpretazione.
Nel qual caso mi scuso con Mr. Adams per aver preso in considerazione
l'ipotesi che un docente universitario possa commettere un simile errore!
Per quanto riguarda il teor del valor medio puoi trovarlo in ogni testo di analisi.
Ciao
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