Linearizzare un sistema nell'origine
Ho un esercizio svolto da una dispensa trovata per il web:
http://****/8Rf1f
Con tutto lo studio che ci ho fatto, non riesco a capire perchè il sistema linearizzato è proprio quello. Intuitivamente (e forse mi sbaglio anche) viene tolto sia alla prima che alla seconda equazione del sistema la parte 'cubica' quindi per questo rimane solo $x' = 2y$ e $y' = -x$ che è una parte lineare...
altro dubbio (purtroppo ne ho molti!)
la jacobiana per trovarsi gli autovalori, l'ha fatto al sistema linearizzato, o a quello iniziale? Perchè ad occhio sembra che l'abbia fatto a quello linearizzato, e quindi io mi chiedo 'perchè'?
altra cosa:
perchè mai 'se la funzione di Liapunov è del tipo assegnato si ricava che...'
io ho preso la funzione di Liapunov che mi da il problema e ci ho fatto la divergenza e banalmente ho trovato che:
$\nabla V = (dV)/dx + (dV)/dy = 2ax + 2by$
quindi almeno in questo credo di trovarmi con il risultato dell'esercizio.
spero possiate spiegarmi le questioni riguardante i miei dubbi precedenti
grazie
http://****/8Rf1f
Con tutto lo studio che ci ho fatto, non riesco a capire perchè il sistema linearizzato è proprio quello. Intuitivamente (e forse mi sbaglio anche) viene tolto sia alla prima che alla seconda equazione del sistema la parte 'cubica' quindi per questo rimane solo $x' = 2y$ e $y' = -x$ che è una parte lineare...
altro dubbio (purtroppo ne ho molti!)
la jacobiana per trovarsi gli autovalori, l'ha fatto al sistema linearizzato, o a quello iniziale? Perchè ad occhio sembra che l'abbia fatto a quello linearizzato, e quindi io mi chiedo 'perchè'?
altra cosa:
perchè mai 'se la funzione di Liapunov è del tipo assegnato si ricava che...'
io ho preso la funzione di Liapunov che mi da il problema e ci ho fatto la divergenza e banalmente ho trovato che:
$\nabla V = (dV)/dx + (dV)/dy = 2ax + 2by$
quindi almeno in questo credo di trovarmi con il risultato dell'esercizio.
spero possiate spiegarmi le questioni riguardante i miei dubbi precedenti
grazie
Risposte
"bartsimpson":
Ho un esercizio svolto da una dispensa trovata per il web:
http://****/8Rf1f
Con tutto lo studio che ci ho fatto, non riesco a capire perchè il sistema linearizzato è proprio quello. Intuitivamente (e forse mi sbaglio anche) viene tolto sia alla prima che alla seconda equazione del sistema la parte 'cubica' quindi per questo rimane solo $x' = 2y$ e $y' = -x$ che è una parte lineare...
Prova a riportare qui cosa vuol dire linearizzare un sistema nell'intorno di un punto.
altro dubbio (purtroppo ne ho molti!)
la jacobiana per trovarsi gli autovalori, l'ha fatto al sistema linearizzato, o a quello iniziale? Perchè ad occhio sembra che l'abbia fatto a quello linearizzato, e quindi io mi chiedo 'perchè'?
Dovresti provare a leggere sul tuo libro/dispensa/appunti perché si linearizza; fatto questo, saprai rispondere anche a questa domanda.
altra cosa:
perchè mai 'se la funzione di Liapunov è del tipo assegnato si ricava che...'
io ho preso la funzione di Liapunov che mi da il problema e ci ho fatto la divergenza e banalmente ho trovato che:
$\nabla V = (dV)/dx + (dV)/dy = 2ax + 2by$
quindi almeno in questo credo di trovarmi con il risultato dell'esercizio.
A che ti serve la divergenza della funzione di Liapunov?
Già che ci siamo, perché non riporti qui cos'è una funzione di Liapunov?
Affinchè sia differenziale ordinaria del primo ordine il sistema deve essere del tipo:
$x' = a*x + b*y$
$y' = c*x + d*y$
affinchè possa denominarsi come sistema linearizzato nell'equilibrio
inoltre se ho un sistema di equazioni differenziali del primo ordine, allora le linearizzo al primo ordine (attraverso Taylor...che per un sistema lineare corrisponde alla matrice jacobiana calcolata nel punto di equilibrio) (cit)
Io avrei proceduto in un altro modo:
$2y - 2x^3 =0$
$-x -3y^3 =0$
avrei trovato i punti critici, avrei calcolato la jacobiana e ne avrei dedotto la natura di stabilità.
ecco perchè non capivo l'approccio dell'esempio...
Per la divergenza....io ho semplicemente cercato di capire come l'ha fatto questo esempio, infatti se vedi dice che dato la funzione di Liapunov di quel tipo, la derivata prima non è altro che la derivata direzionale lungo il moto.
http://****/8RsmP
Inoltre la divergenza mi serve, perchè è una delle condizioni del secondo teorema di stabilità di Liapunov
$x' = a*x + b*y$
$y' = c*x + d*y$
affinchè possa denominarsi come sistema linearizzato nell'equilibrio
inoltre se ho un sistema di equazioni differenziali del primo ordine, allora le linearizzo al primo ordine (attraverso Taylor...che per un sistema lineare corrisponde alla matrice jacobiana calcolata nel punto di equilibrio) (cit)
Io avrei proceduto in un altro modo:
$2y - 2x^3 =0$
$-x -3y^3 =0$
avrei trovato i punti critici, avrei calcolato la jacobiana e ne avrei dedotto la natura di stabilità.
ecco perchè non capivo l'approccio dell'esempio...
Per la divergenza....io ho semplicemente cercato di capire come l'ha fatto questo esempio, infatti se vedi dice che dato la funzione di Liapunov di quel tipo, la derivata prima non è altro che la derivata direzionale lungo il moto.
http://****/8RsmP
Inoltre la divergenza mi serve, perchè è una delle condizioni del secondo teorema di stabilità di Liapunov
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