Linearizzare equazione secondo ordine

[teo torriatte]

Questo è il mio primo post!...siate comprensivi

un'esercizio di controlli automatici dice
Dato un sistema NLTI descritto dalla sequente aquazione diff

$ ddot{y}+dot(y)=(y)^(3)- by +u


1)descrivere il sistema tramite equazioni di stato (I/S/O)

2)trovare punti di equilibrio per b=1 $ u=(y)^(2)

3)discutere la stabilità dei punti

ora io ho studiato che devo trovare le matrici del sistema

$ Δdot(x)=AΔx +BΔu
Δy=CΔx+dΔu

con il calcolo dei giacobiani (che mi confondono abbastanza)

però non mi ci raccapezzo perchè negli esepmpi del libro ci sono al massimo equazioni di primo ordine
e poi sono sempre della forma

$ dot(x)=f(x,u)
y=f(x,u)

S S

[pater46]

"teo torriatte":
$ Δdot(x)=AΔx +BΔu $
Δy=CΔx+dΔu

Prova a riscrivere meglio queste equazioni. Per esprimere il delta scrivi semplicemente \Delta nella formula matematica, così:

"teo torriatte":
$ \Deltadot(x)=A\Deltax +B\Deltau $
$ \Deltay=C\Deltax+d\Deltau $

Nelle altre, suppongo che usando la notazione di Newton ti riferisci a derivate rispetto al tempo... Ora dò un'occhiata.

[gugo82]

@teo: Un'equazione del secondo ordine si può ricondurre ad un sistema del primo ordine semplicemente introducendo una variabile ausiliaria con la posizione [tex]$x=\dot{y}$[/tex].

Ad esempio, l'equazione [tex]$\ddot{y} +\dot{y} =f(t,y)$[/tex] diventa il sistema:

[tex]$\begin{cases} \dot{x} =f(t,y)-x \\ \dot{y} =x \end{cases}$[/tex].

Forse questo può esserti utile?


P.S.: Quello di introdurre variabili ausiliarie è un trucco che consente di ridurre un'equazione d'ordine [tex]$n$[/tex] comunque elevato ad un sistema di [tex]$n$[/tex] equazioni del primo ordine; è per questo che la teoria delle equazioni differenziali ordinarie è fatta solo per equazioni del primo ordine.

[teo torriatte]

sono tutte funzioni f(t).

con $ x=dot(y) $ otterrei

$ dot(x) +x=(y)^(3) - by +u $

che non è della forma
$ y=h(x,u) $ oppure
$ dot(x)=f(x,u) $

quindi come la linearizzo?