Linearizzare equazione differenziale
Buongiorno, volevo chiedervi cortesemente un consiglio su un esercizio, perchè mi sono bloccato e non so come andare avanti 
Si tratta di linearizzare l'equazione differenziale $(1+y^2)\ddot y + y (\dot y)^2 - (1-y^2)\dot y + y-1=0$ incorrispondenza della soluzione stazionaria $y(y)=1$
Come si fa di solito ho effettuato le sostituzioni $y=1+\epsilon x$ ;$\dot y=\epsilon \dot x$ ; $\ddot y=\epsilon \ddot x$
Così l'equazione diventa:
$(2+\epsilon^2 x^2+2\epsilon x)\epsilon \ddot x + (1+\epsilon x)\epsilon^2(\dot x)^2 + (\epsilon^2 x^2+2\epsilon x)\epsilon \dot x + \epsilon x =0$
Ora dovrei considerare tutto come funzione di $\epsilon$ e fare lo sviluppo di Taylor di ordine 1 in un intorno delle posizione di equilibrio, cioè di $\epsilon=0$, solo che non capisco come si possa fare
Io pensavo a qualcosa del tipo $f(x)=f(x)|_{\epsilon=0} + f'(x)|_{\epsilon=0} (?)+o(?)$, o forse così ma con $\epsilon$ al posto di $x$?
Ringrazio in anticipo, Lorenzo
Si tratta di linearizzare l'equazione differenziale $(1+y^2)\ddot y + y (\dot y)^2 - (1-y^2)\dot y + y-1=0$ incorrispondenza della soluzione stazionaria $y(y)=1$
Come si fa di solito ho effettuato le sostituzioni $y=1+\epsilon x$ ;$\dot y=\epsilon \dot x$ ; $\ddot y=\epsilon \ddot x$
Così l'equazione diventa:
$(2+\epsilon^2 x^2+2\epsilon x)\epsilon \ddot x + (1+\epsilon x)\epsilon^2(\dot x)^2 + (\epsilon^2 x^2+2\epsilon x)\epsilon \dot x + \epsilon x =0$
Ora dovrei considerare tutto come funzione di $\epsilon$ e fare lo sviluppo di Taylor di ordine 1 in un intorno delle posizione di equilibrio, cioè di $\epsilon=0$, solo che non capisco come si possa fare
Io pensavo a qualcosa del tipo $f(x)=f(x)|_{\epsilon=0} + f'(x)|_{\epsilon=0} (?)+o(?)$, o forse così ma con $\epsilon$ al posto di $x$?
Ringrazio in anticipo, Lorenzo
Risposte
Finora hai trovato [tex]$F(x,\dot{x},\ddot{x};\varepsilon)=0$[/tex] sostituendo [tex]$y=1+\varepsilon x$[/tex] al primo membro della tua EDO.
L'equazione linearizzata non è quella che si ottiene ponendo [tex]$F_\varepsilon (x,\dot{x},\ddot{x};\varepsilon)\Big|_{\varepsilon =0}=0$[/tex] ([tex]$F_\varepsilon$[/tex] denota la derivata parziale rispetto a [tex]$\varepsilon$[/tex])?
L'equazione linearizzata non è quella che si ottiene ponendo [tex]$F_\varepsilon (x,\dot{x},\ddot{x};\varepsilon)\Big|_{\varepsilon =0}=0$[/tex] ([tex]$F_\varepsilon$[/tex] denota la derivata parziale rispetto a [tex]$\varepsilon$[/tex])?
Ciao Gugo, ad essere sincero non so risponderti; questo metodo sebbene riguardi l'analisi mi è stato presentato in un corso di meccanica razionale come semplice algoritmo applicativo. Purtroppo non dispongo di una teoria o di dimostrazioni su cui basarmi per fare dei ragionamenti, ed è anche per questo che nel primo post sono stato così vago.
Se può essere d'aiuto la soluzione dell'esercizio è $2\ddot x+x=0$
Se può essere d'aiuto la soluzione dell'esercizio è $2\ddot x+x=0$
Tieni i termini di ordine 1 in $\epsilon$ e butta quelli di ordine superiore.
Questa procedura può essere giustificata (credo) usando il teorema di differenziabilità rispetto al dato iniziale per le equazioni differenziali.
Questa procedura può essere giustificata (credo) usando il teorema di differenziabilità rispetto al dato iniziale per le equazioni differenziali.
Secondo voi mi conviene sviluppare tutti i prodotti oppure no? Avevo provato a fare come dici tu ma mi vengono pagine di conti, e da tanti numeri non riusivo a capire quali fossero veramente i termini di primo grado :s
"anonymous_ed8f11":
Così l'equazione diventa:
$(2+\epsilon^2 x^2+2\epsilon x)\epsilon \ddot x + (1+\epsilon x)\epsilon^2(\dot x)^2 + (\epsilon^2 x^2+2\epsilon x)\epsilon \dot x + \epsilon x =0$
Non ho capito le "pagine di conti".
Tieni solo i termini di ordine 1 in $\epsilon$, che sono
$\epsilon(2\ddot{x}+x)$.
Nella parentesi tonda trovi la linearizzazione che stai cercando.
Perdona la testardaggine, ma come capisco al volo quali termini sono di ordine uno in $\epsilon$ senza fare lo sviluppo completo di taylor.
Poi non so come trattare le derivate di $x$, se è meglio moltiplicare tutto oppure se devo cercare prima di raccoglierle
Poi non so come trattare le derivate di $x$, se è meglio moltiplicare tutto oppure se devo cercare prima di raccoglierle
Forse sono io che non capisco.
Tu hai scritto l'equazione:
che puoi anche scrivere come
$(2\ddot{x}+x)\epsilon + (2x\ddot{x}+ \dot{x}^2+2x\dot{x})\epsilon^2 + (x^2\ddot{x} + x\dot{x}^2 + x^2\dot{x})\epsilon^3 =0$
(salvo banali errori algebrici, comunque poco importanti).
Il primo ordine in $\epsilon$ mi sembra chiaramente visibile, o no?
Tu hai scritto l'equazione:
"anonymous_ed8f11":
$(2+\epsilon^2 x^2+2\epsilon x)\epsilon \ddot x + (1+\epsilon x)\epsilon^2(\dot x)^2 + (\epsilon^2 x^2+2\epsilon x)\epsilon \dot x + \epsilon x =0$
che puoi anche scrivere come
$(2\ddot{x}+x)\epsilon + (2x\ddot{x}+ \dot{x}^2+2x\dot{x})\epsilon^2 + (x^2\ddot{x} + x\dot{x}^2 + x^2\dot{x})\epsilon^3 =0$
(salvo banali errori algebrici, comunque poco importanti).
Il primo ordine in $\epsilon$ mi sembra chiaramente visibile, o no?
Ora è cristallino, grazie mille! 
Non so perchè ma proprio non mi ero pensato di fare il tuo raccoglimento
Non so perchè ma proprio non mi ero pensato di fare il tuo raccoglimento
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