Linearità equazione differenziale

[shinobi9]

Ciao a tutti! Studiando meccanica delle vibrazioni a ingegneria mi sono posto il seguente problema:quando si scrivono le equazioni di moto del sistema si ottiene un equazione differenziale. Essa è lineare se e solo se la molla e lo smorzatore hanno un comportamento lineare.(forza elastica direttamente proporzionale allo spostamento e quella viscosa dirett.prop alla velocità).Se l'equazione è lineare allora vale il principio di sovrapposizione degli effetti, chiaramente molto utile.
a questo punto chiedo un chiarimento sul concetto di linearità di un'equazione differenziale.. ovvero parlando di linearità di un eq. Differenziale ci si riconduce all'algebra lineare in cui una applicazione lineare è una applicazione(tra 2 spazi vettoriali) con le famose 2 (o 3 se si considera lo zero nello zero) condizioni di additivita' e moltiplicazione per scalare. Nel caso delle equazioni quindi CHI fa le veci degli spazi vettpriali e chi di applicazione lineare? Leggendo su wiki mi è venuto in mente che gli spazi vettoriali siano spazi di funzioni nel caso delle equazioni diff. mentre la trasformazione lineare corrisponda all'operatore differenziale di derivazione..sbaglio!? In base questa ultima ipotesi non ho mai capito bene la differenza tra operatore e trasformazione...nel caso delle equazioni posso usare i 2 termini indistintamente?cioè dire che l'operatore diff è una trasformazione lineare? Infine...un ultimissimo chiarimento.. dire la frase "essendo lineare vale la sovrapposizione degli effetti" (che il mio libro usa testualmente)per quanto ho capito
(Correggetemi se sbaglio) mi sembra una ripetizione..nel senso che la sovrapposzione degli effetti a mio modesto parere coincide proprio con la definizione di linearità di una trasformazione lineare!...sbaglio?

[gugo82]

"shinobi9":Ciao a tutti! Studiando meccanica delle vibrazioni a ingegneria mi sono posto il seguente problema:quando si scrivono le equazioni di moto del sistema si ottiene un equazione differenziale. Essa è lineare se e solo se la molla e lo smorzatore hanno un comportamento lineare.(forza elastica direttamente proporzionale allo spostamento e quella viscosa dirett.prop alla velocità).Se l'equazione è lineare allora vale il principio di sovrapposizione degli effetti, chiaramente molto utile.

In generale, la proprietà di linearità (in Analisi/Algebra Lineare) corrisponde completamente al principio di sovrapposizione degli effetti (in Fisica)... In altre parole, un fenomeno fisico per cui vale il PSE viene sempre modellato mediante modelli (e.g., equazioni differenziali) lineari e viceversa.

"shinobi9":a questo punto chiedo un chiarimento sul concetto di linearità di un'equazione differenziale.. ovvero parlando di linearità di un eq. Differenziale ci si riconduce all'algebra lineare in cui una applicazione lineare è una applicazione(tra 2 spazi vettoriali) con le famose 2 (o 3 se si considera lo zero nello zero) condizioni di additivita' e moltiplicazione per scalare. Nel caso delle equazioni quindi CHI fa le veci degli spazi vettpriali e chi di applicazione lineare? Leggendo su wiki mi è venuto in mente che gli spazi vettoriali siano spazi di funzioni nel caso delle equazioni diff. mentre la trasformazione lineare corrisponda all'operatore differenziale di derivazione..sbaglio!?

Giusto, anche se non sempre (dipende dalla formulazione del problema).
Ad esempio, la EDO:
\[
y^{\prime \prime} (x) = 0
\]
chiede di determinare tutte e sole le funzioni diciamo \(C^2\) in \(\mathbb{R}\) che hanno la derivata seconda identicamente nulla.
Ma tale equazione può essere riguardata come il problema di determinare il nucleo dell'operatore lineare \(L:C^2(\mathbb{R})\to C(\mathbb{R})\) definito ponendo \(L[y] := y^{\prime \prime}\), poiché infatti:
\[
\begin{split}
\ker L &:= \{y\in C^2(\mathbb{R}):\ L[y]=0\} \\
&=\{y\in C^2(\mathbb{R}):\ y^{\prime \prime} (x)=0 \text{ per ogni } x\in \mathbb{R}\}\; .
\end{split}
\]
Quindi, in linea del tutto generale, se ha una EDO \(L[y]=f\), essa è lineare se e solo se l'operatore differenziale al primo membro, i.e. \(L[\cdot]\), è un operatore lineare tra opportuni spazi di funzioni.

"shinobi9":In base questa ultima ipotesi non ho mai capito bene la differenza tra operatore e trasformazione...nel caso delle equazioni posso usare i 2 termini indistintamente?cioè dire che l'operatore diff è una trasformazione lineare?

Questa differenza di terminologia si spiega col fatto che i Geometri interpretano le applicazioni lineari come trasformazioni "geometriche" di uno spazio (di qualsiasi tipo esso sia) in un altro che conservano o meno alcune proprietà; mentre gli Analisti pensano alle applicazioni lineari come operatori che trasformano funzioni in altre funzioni.

"shinobi9":Infine...un ultimissimo chiarimento.. dire la frase "essendo lineare vale la sovrapposizione degli effetti" (che il mio libro usa testualmente)per quanto ho capito
(Correggetemi se sbaglio) mi sembra una ripetizione..nel senso che la sovrapposzione degli effetti a mio modesto parere coincide proprio con la definizione di linearità di una trasformazione lineare!...sbaglio?

Vale ciò che ho scritto all'inizio.

[shinobi9]

Grazie mille!:) molto chiaro!:)