Linearità dell'integrale delle funzioni a scalino.
Salve, ho appena iniziato a studiare gli integrali e sto cercando di dimostrare la proprietà di linearità (sul libro è considerata banale e ovviamente è "lasciata al lettore").
Premetto che come testo uso "Analisi 1- Teoria ed esercizi" di Giuseppe de Marco.
Lui definisce l'integrale della funzione a scalino \(f\) esteso all'intervallo \([a,b]\), come il numero reale:
$$\int_{[a,b]}^{} f = \sum_{k=1}^m \alpha_{k} (x_{k}-x_{k-1}) $$
Dove \(\alpha_{k}\) è il valore che f assume negli intervalli \(]x_{k-1},x_{k}[\)
L'unico "spunto" che viene offerto per dimostrare che
$$\int_{[a,b]}^{} f+g = \int_{[a,b]}^{} f + \int_{[a,b]}^{} g $$
è, e cito testualmente, "Per l'additività si ricorre a una suddivisione associata sia ad f che a g. Il resto è banale."
Ora io ho ragionato in questo modo ma non trovando in rete altre dimostrazioni simili alla mia (anzi non sono riuscito a trovare niente che parli delle funzioni a scalino in generale in questo senso) volevo una conferma.
Innanzitutto, sia \(D\) la suddivisione associata sia ad \(f\) che a \(g\) . La funzione \(f+g\) è anch'essa a scalino e ha come suddivisione \(D\cup D = D\).
L'integrale di \(f+g\) esteso ad \([a,b]\) è:
$$ \sum_{k=1}^m (f+g)(x_{k})(x_{k}-x_{k-1}) = \sum_{k=1}^m (f(x_{k})+g(x_{k})) (x_{k}-x_{k-1}) =\\ \sum_{k=1}^m f(x_{k}) (x_{k}-x_{k-1}) + \sum_{k=1}^m g(x_{k}) (x_{k}-x_{k-1}) = \\ \int_{[a,b]}^{} f + \int_{[a,b]}^{} g $$
Grazie per le eventuali risposte.
Premetto che come testo uso "Analisi 1- Teoria ed esercizi" di Giuseppe de Marco.
Lui definisce l'integrale della funzione a scalino \(f\) esteso all'intervallo \([a,b]\), come il numero reale:
$$\int_{[a,b]}^{} f = \sum_{k=1}^m \alpha_{k} (x_{k}-x_{k-1}) $$
Dove \(\alpha_{k}\) è il valore che f assume negli intervalli \(]x_{k-1},x_{k}[\)
L'unico "spunto" che viene offerto per dimostrare che
$$\int_{[a,b]}^{} f+g = \int_{[a,b]}^{} f + \int_{[a,b]}^{} g $$
è, e cito testualmente, "Per l'additività si ricorre a una suddivisione associata sia ad f che a g. Il resto è banale."
Ora io ho ragionato in questo modo ma non trovando in rete altre dimostrazioni simili alla mia (anzi non sono riuscito a trovare niente che parli delle funzioni a scalino in generale in questo senso) volevo una conferma.
Innanzitutto, sia \(D\) la suddivisione associata sia ad \(f\) che a \(g\) . La funzione \(f+g\) è anch'essa a scalino e ha come suddivisione \(D\cup D = D\).
L'integrale di \(f+g\) esteso ad \([a,b]\) è:
$$ \sum_{k=1}^m (f+g)(x_{k})(x_{k}-x_{k-1}) = \sum_{k=1}^m (f(x_{k})+g(x_{k})) (x_{k}-x_{k-1}) =\\ \sum_{k=1}^m f(x_{k}) (x_{k}-x_{k-1}) + \sum_{k=1}^m g(x_{k}) (x_{k}-x_{k-1}) = \\ \int_{[a,b]}^{} f + \int_{[a,b]}^{} g $$
Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
Se \( D \) è una suddivisione associata alla funzione a scalino \( f \) (che assumo, come tutte le funzioni a scala, come funzione \( \mathbb R\to \mathbb R \)), anche \( D\cup\{x\} \) lo è, per ogni \( y\in \mathbb R \). Per induzione segue che anche \( D\cup\{y_0,\dots,y_m\} \) è una suddivisione associata a \( f \), per ogni \( y_0,\dots,y_m \).
Adesso, se \( D^\prime \) è la suddivisione associata a \( f \) e \( D^{\prime\prime} \) è la suddivisione associata a \( g \), hai che \( D = D^\prime\cup D^{\prime\prime} \) è una suddivisione associata a \( f \) e a \( g \). Fai che \( D = \{z_0,\dots,z_r\} \). Allora
\[
\int_{\mathbb R}(f + g) = \sum_{i = 1}^r(f + g)(z_i)(z_i - z_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^rf(z_i)(z_i - z_{i - 1}) + \sum_{i = 1}^rg(z_i)(z_i - z_{i - 1})
\] e la tesi segue dal fatto che l'integrale di una funzione a scala non dipende dalla suddivisione.
P.S. Adesso non mi ricordo cosa scrive Bepi, però per fare l'integrale esteso all'intervallo \( [a,b] \) poi ti basta definire
\[
\int_{[a,b]}f := \int_{\mathbb R}f\chi_{[a,b]}\qquad\qquad \chi_{[a,b]} = \begin{cases}1&\text{se \( x\in [a,b] \)}\\ 0 & \text{se \( x\not\in [a,b] \)}\end{cases}
\] e tutte le proprietà seguono (ovviamente devi verificare che \( f\chi_{[a,b]} \)) è a scala, ma è presto fatto).
Adesso, se \( D^\prime \) è la suddivisione associata a \( f \) e \( D^{\prime\prime} \) è la suddivisione associata a \( g \), hai che \( D = D^\prime\cup D^{\prime\prime} \) è una suddivisione associata a \( f \) e a \( g \). Fai che \( D = \{z_0,\dots,z_r\} \). Allora
\[
\int_{\mathbb R}(f + g) = \sum_{i = 1}^r(f + g)(z_i)(z_i - z_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^rf(z_i)(z_i - z_{i - 1}) + \sum_{i = 1}^rg(z_i)(z_i - z_{i - 1})
\] e la tesi segue dal fatto che l'integrale di una funzione a scala non dipende dalla suddivisione.
P.S. Adesso non mi ricordo cosa scrive Bepi, però per fare l'integrale esteso all'intervallo \( [a,b] \) poi ti basta definire
\[
\int_{[a,b]}f := \int_{\mathbb R}f\chi_{[a,b]}\qquad\qquad \chi_{[a,b]} = \begin{cases}1&\text{se \( x\in [a,b] \)}\\ 0 & \text{se \( x\not\in [a,b] \)}\end{cases}
\] e tutte le proprietà seguono (ovviamente devi verificare che \( f\chi_{[a,b]} \)) è a scala, ma è presto fatto).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo