Linearità degli integrali.

[galles90]

Buongiorno e Buon Santo Stefano.

Ho la seguente proprietà riguardante la linearità degli integrali, cioè se considero due funzioni $f,g$ entrambi integrabili su $[a,b]$ allora anche la funzione $f+g$ è integrabile in $[a,b]$.
Vi mostro la dimostrazione riportata sul mio libro:

Considerando che le due funzione $f,g$ sono integrabili in $[a,b]$, allora $forall epsilon>0$ esistono due partizioni $P,Q$ tali che

1) $S(P,f)-s(P,f) 2) $S(Q,g)-s(Q,g)
per cui considerando $R=P cup Q$ per cui per un famoso lemma si ha:
$S(R,f)-s(R,f) $S(R,g)-s(R,g)
dalle proprietà degli estremi superiori e inferiori
$s(R,f)+s(R,g) le s(R,f+g) le S(R,f+g) le S(R,f)+S(R,g) $
per definizione di integrale si ha:
3) $s(R,f)+s(R,g) le int_a^b [f+g] dx le S(R,f)+S(R,g)$
di conseguenza
4) $s(R,f)+s(R,g) le int_a^b f dx+int_a^b g dx le S(R,f)+S(R,g)$

considerando la 1)---4) si ha
5) $|int_a^b [f+g] dx-[ int_a^b f dx+int_a^b g dx]|
I passaggi mi sono quasi chiari, ho qualche incertezza sulla 5),faccio il seguente ragionamento per poter arrivare alla 5):

considero le seguenti quantita $a,b,c,epsilon in mathbb{R}$, essendo che:
$a le b$
$a le c$
$epsilon>0$ allora $0 le a $
$|b-c|
Dall'arbitrarietà di $epsilon$ si ha che la quantità in valore assoluto $|b-c| Le quantità considerate sono posizioni fatte per snellire la sintassi.

Ciao

[gugo82]

Posto $I=int_a^b (f+g)$, $F=int_a^b f, G=int_a^b g$, hai dimostrato che:
\[
s_f + s_g \leq I, F+G\leq S_f +S_g
\]
da cui, sottraendo m.a.m., ricavi:
\[
-S_f +s_f -S_g+s_g \leq I-(F+G)\leq S_f - s_f + S_g -s_g
\]
il che significa che $|I-(F+G)|<= S_f -s_f + S_g-s_g$.

[galles90]

Grazie, per il momento ci sono.