Linea di livello

[SandroBelgiorno]

Mostrare che non esiste $k$ $\epsilon$ $R$ tale che la retta

$y-x-k=0$

sia tangente alla linea di livello 1 della funzione

$f(x,y)= sqrty - sqrtx$


La linea di livello 1 della funzione $f(x,y)= √y - √x $ dovrebbe essere $y=x+1$

mentre la retta data dall'esercizio $y-x-k=0$ -->$ y=x+k$

come si svolge questo esercizio? Cosa devo fare?

[Noisemaker]

"BelgyBrown":Mostrare che non esiste $k$ $\epsilon$ $R$ tale che la retta

$y-x-k=0$

sia tangente alla linea di livello 1 della funzione

$f(x,y)= sqrty - sqrtx$


La linea di livello 1 della funzione $f(x,y)= √y - √x $ dovrebbe essere $y=x+1$

mentre la retta data dall'esercizio $y-x-k=0$ -->$ y=x+k$

come si svolge questo esercizio? Cosa devo fare?

mah ... io farei cosi ..
le curve di livello sono

$1= \sqrty - \sqrtx \to \sqrty=1+\sqrtx $

poichè la funzione è definita per $x>0$ e per $y>0,$ le curve di livello saranno del tipo

$ y=1+ x+2\sqrt x $

per verificare la tangenza considera la derivata prima della curva di livello: $y'=1+\frac{1}{\sqrt x}$ e sai per ipotesi che questa altro non è che il coefficiente angolare della retta tangenta alla curva nel punto $x;$ allora senz'altro deve essere
$y'=1,$ ove $1$ è il coefficiente angolare della retta $y-x-k=0,$ ma allora :
\begin{align*}
y'=1+\frac{1}{\sqrt x}=1
\end{align*}
il che è evidentemente impossibile!