L'indice di una radice
Per definizione (non ha una dimostrazione, giusto??) si ha che $x^(\frac{m}{n})=root(n)(x^m$ con $m,n$ interi e $n$ non nullo.
Il punto è: questa uguaglianza continua a valere se $m$ e $n$ sono non interi?
Ad esempio, una scrittura del tipo $root(sqrt(2))(2)$ ha senso? È equivalente a $sqrt(2)^(\frac{1}{sqrt(2)}$?
Questi dubbi mi sono sorti nell'analizzare il dominio della funzione $f(x)=root(2k)((log_((sin(x))^(k+1))(log(x-3)))$ il cui grafico, secondo geogebra, sembra esistere solo per valori interi di $2k$
Devo imporre che $2k$ sia un numero intero? Se sì deve essere per forza naturale?
Una bella spiegazione non è sgradita
Il punto è: questa uguaglianza continua a valere se $m$ e $n$ sono non interi?
Ad esempio, una scrittura del tipo $root(sqrt(2))(2)$ ha senso? È equivalente a $sqrt(2)^(\frac{1}{sqrt(2)}$?
Questi dubbi mi sono sorti nell'analizzare il dominio della funzione $f(x)=root(2k)((log_((sin(x))^(k+1))(log(x-3)))$ il cui grafico, secondo geogebra, sembra esistere solo per valori interi di $2k$
Devo imporre che $2k$ sia un numero intero? Se sì deve essere per forza naturale?
Una bella spiegazione non è sgradita
Risposte
Siamo alle solite (non per colpa tua, sia chiaro ... 
) ... è un classico quasi come "una poltrona per due" a Natale ... 
Esistono diverse scuole di pensiero ed il forum è pieno di discussioni simili ...
Diciamo (IMHO) che l'approccio più "standard" vuole che l'indice di una radice sia naturale (per ovvi motivi: pari/dispari) anche se con la limitazione del radicando solo positivo andrebbe bene tutto, però in quel caso tanto vale usare l'esponente senza tirare in ballo il segno di radice ...
Cordialmente, Alex
) ... è un classico quasi come "una poltrona per due" a Natale ... Esistono diverse scuole di pensiero ed il forum è pieno di discussioni simili ...
Diciamo (IMHO) che l'approccio più "standard" vuole che l'indice di una radice sia naturale (per ovvi motivi: pari/dispari) anche se con la limitazione del radicando solo positivo andrebbe bene tutto, però in quel caso tanto vale usare l'esponente senza tirare in ballo il segno di radice ...
Cordialmente, Alex
Diciamo che non ho mai trovato una spiegazione adeguata a questo tipo di problema in un testo ed è probabile che anche altri abbiano avuto questo problema
Proprio adesso ho visto che nel risultato e distingue tra $k$ pari e dispari. Ma in teoria non bisognerebbe anche vedere il caso in cui $k=\frac{h}{2}$, con $h$ dispari?
Un'ultima cosa, mi confermi/smentisci che la relazione valida per i razionali è una definizione?
Proprio adesso ho visto che nel risultato e distingue tra $k$ pari e dispari. Ma in teoria non bisognerebbe anche vedere il caso in cui $k=\frac{h}{2}$, con $h$ dispari?
Un'ultima cosa, mi confermi/smentisci che la relazione valida per i razionali è una definizione?
Per quel che ricordo io, sì ... cioè prima si introducono le potenze (con indice naturale), poi le radici (sempre con indice naturale) e poi si definiscono le potenze con indice razionale imponendo l'equivalenza $x^(m/n):=root(n)(x^m)$ (che è "sottilmente" diverso da quello che hai scritto) dove $m, n$ sono naturali ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
... e poi si verifica che questa definizione è compatibile con le proprietà della potenza di potenza definite nei numeri naturali (ma anche interi)
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