Limte sotto radice
Il limite notevole dice che
$ root(n)(n) $
per
$ n $ $ rarr oo $
vale 1
Ma perchè anche quello seguente vale uno?
$ root(n)(log(n)) $
$ root(n)(n) $
per
$ n $ $ rarr oo $
vale 1
Ma perchè anche quello seguente vale uno?
$ root(n)(log(n)) $
Risposte
C'è un teorema spesso molto comodo per calcolare limiti del tipo $lim_{n\to\infty}(a_n)^{1/n}$:
se $a_n>0$ e ${a_{n+1}}/{a_n}\to L$, allora $lim_{n\to \infty}(a_n)^{1/n}=L$.
Puoi dimostrarlo facilmente se ricordi questo teorema di Cesaro:
se $x_n>0$ e $lim_{n\to \infty}x_n = l$ allora anche $lim_{n\to \infty} (x_1x_2...x_n)^(1/n)=l$ (se una successione converge, anche la successione delle medie geometriche converge e allo stesso limite - per inciso, vale anche con le medie aritmetiche).
basta applicare il teorema alla successione $\frac{a_{n+1}}{a_n}$.
se $a_n>0$ e ${a_{n+1}}/{a_n}\to L$, allora $lim_{n\to \infty}(a_n)^{1/n}=L$.
Puoi dimostrarlo facilmente se ricordi questo teorema di Cesaro:
se $x_n>0$ e $lim_{n\to \infty}x_n = l$ allora anche $lim_{n\to \infty} (x_1x_2...x_n)^(1/n)=l$ (se una successione converge, anche la successione delle medie geometriche converge e allo stesso limite - per inciso, vale anche con le medie aritmetiche).
basta applicare il teorema alla successione $\frac{a_{n+1}}{a_n}$.
Una maniera alternativa, più semplice in effetti: scrivi
$root(n)(log n)$
come
$e^{\frac{log n}{n}}$.
$root(n)(log n)$
come
$e^{\frac{log n}{n}}$.
@dissonance: Hai citato il teorema di Cesàro sulla media geometrica e mi hai fatto venire in mente una cosa su cui non mi sono mai soffermato a riflettere prima...
I due teoremi di Cesàro dicono che se [tex]$(x_n)$[/tex] è una successione positiva (per farli funzionare entrambi contemporaneamente) e convergente, allora pure le due successioni di termini generali:
[tex]$\alpha_n:= A(x_1,\ldots ,x_n)$[/tex] e [tex]$\gamma_n:=G(x_1,\ldots ,x_n)$[/tex],
ove [tex]$A(\cdot)$[/tex] e [tex]$G(\cdot)$[/tex] denotano le media aritmetica e geometrica, convergono allo stesso limite di [tex]$(x_n)$[/tex].
Mi domando se sia vero che in generale, per [tex]$p> 0$[/tex], nelle ipotesi di Cesàro risulti anche:
[tex]$x_n\to L \ \Rightarrow \ M_p(x_1,\ldots ,x_n)\to L$[/tex]
ove [tex]$M_p(\cdot)$[/tex] è la media d'ordine [tex]$p$[/tex] (i.e. [tex]M_p(x_1,\ldots ,x_n)=\left\{ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k^p\right\}^\frac{1}{p}[/tex]).
Per [tex]$p\in ]0,1[$[/tex] la cosa è certamente vera, giacché risulta:
[tex]$G(x_1,\ldots ,x_n)\leq M_p(x_1,\ldots ,x_n)\leq A(x_1,\ldots ,x_n)$[/tex]
(vedi qui) e per il teorema dei carabinieri; però che succede se [tex]$p>1$[/tex]?
I due teoremi di Cesàro dicono che se [tex]$(x_n)$[/tex] è una successione positiva (per farli funzionare entrambi contemporaneamente) e convergente, allora pure le due successioni di termini generali:
[tex]$\alpha_n:= A(x_1,\ldots ,x_n)$[/tex] e [tex]$\gamma_n:=G(x_1,\ldots ,x_n)$[/tex],
ove [tex]$A(\cdot)$[/tex] e [tex]$G(\cdot)$[/tex] denotano le media aritmetica e geometrica, convergono allo stesso limite di [tex]$(x_n)$[/tex].
Mi domando se sia vero che in generale, per [tex]$p> 0$[/tex], nelle ipotesi di Cesàro risulti anche:
[tex]$x_n\to L \ \Rightarrow \ M_p(x_1,\ldots ,x_n)\to L$[/tex]
ove [tex]$M_p(\cdot)$[/tex] è la media d'ordine [tex]$p$[/tex] (i.e. [tex]M_p(x_1,\ldots ,x_n)=\left\{ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k^p\right\}^\frac{1}{p}[/tex]).
Per [tex]$p\in ]0,1[$[/tex] la cosa è certamente vera, giacché risulta:
[tex]$G(x_1,\ldots ,x_n)\leq M_p(x_1,\ldots ,x_n)\leq A(x_1,\ldots ,x_n)$[/tex]
(vedi qui) e per il teorema dei carabinieri; però che succede se [tex]$p>1$[/tex]?
[OT]Sai una cosa curiosa? Scrivendo scrivendo, questa stessa domanda è venuta in mente anche a me.[/OT]
Mmmm...
La cosa cui si pensa subito è trovare un maggiorante decente per [tex]$p>1$[/tex]; però il maggiorante "fesso" [tex]$M_\infty (x_1,\ldots ,x_n)=\max \{ x_1,\ldots ,x_n\}$[/tex] non va bene (va bene se [tex]$(x_n)$[/tex] è crescente, ma in generale no).
***EDIT: Per [tex]$p=2$[/tex] la cosa non pare funzionare.
Ho dato in pasto a Mathematica la media quadratica della successione [tex]$1+\tfrac{(-1)^n}{n}$[/tex] ed al limite mi restituisce [tex]$\sqrt{2}$[/tex] al posto di [tex]$1$[/tex].
Potresti controllare?
La cosa cui si pensa subito è trovare un maggiorante decente per [tex]$p>1$[/tex]; però il maggiorante "fesso" [tex]$M_\infty (x_1,\ldots ,x_n)=\max \{ x_1,\ldots ,x_n\}$[/tex] non va bene (va bene se [tex]$(x_n)$[/tex] è crescente, ma in generale no).
***EDIT: Per [tex]$p=2$[/tex] la cosa non pare funzionare.
Ho dato in pasto a Mathematica la media quadratica della successione [tex]$1+\tfrac{(-1)^n}{n}$[/tex] ed al limite mi restituisce [tex]$\sqrt{2}$[/tex] al posto di [tex]$1$[/tex].
Potresti controllare?
Non lo so Gugo, da alcuni grafici che ho fatto con MATLAB pare invece che il limite sia $1$ per tutte e due le successioni. La media quadratica la definisci come
[tex]$M_2(x_1 \ldots x_n)= \sqrt{\frac{x_1^2+\ldots +x_n^2}{n}}[/tex] ? [size=75][edit] La risposta è si, l'hai pure scritto sopra. M'era sfuggito. [/edit][/size]
Con questa definizione ecco cosa viene fuori: in blu c'è [tex](n, 1+\frac{(-1)^n}{n})[/tex] e in verde le corrispondenti medie quadratiche
[tex]$M_2(x_1 \ldots x_n)= \sqrt{\frac{x_1^2+\ldots +x_n^2}{n}}[/tex] ? [size=75][edit] La risposta è si, l'hai pure scritto sopra. M'era sfuggito. [/edit][/size]
Con questa definizione ecco cosa viene fuori: in blu c'è [tex](n, 1+\frac{(-1)^n}{n})[/tex] e in verde le corrispondenti medie quadratiche
In effetti c'è qualcosa che non va con Mathematica... Per quella successione lì mi da [tex]$\lim_n M_4(x_1,\ldots ,x_n)=\infty$[/tex], il che non è possibile perchè quella successione è limitata dall'alto da [tex]$\max \{x_n\} =\tfrac{3}{2}$[/tex].
@MaxMat: Questa discussione ha preso la deriva dell'OT, spero che non ti abbiamo confuso. Ne è nato però un interessante spunto di riflessione, adesso apro un topic a parte.
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