Limte! dove risbaglio!??

[marco.surfing]

qualcuno è così gentile da dirmi dove sbaglio?

$\lim_{n \to \infty}n^2/(sqrt(n^2+3n+1))-n$ => $\lim_{n \to \infty}(n^2-n*sqrt(n^2+3n+1))/sqrt(n^2+3n+1)$ => $\lim_{n \to \infty}(n^2-n*sqrt(n^2*(1+3/n+1/n^2)))/sqrt(n^2*(1+3/n+1/n^2)))$ => $\lim_{n \to \infty}(n^2-n^2*sqrt(1+3/n+1/n^2))/(n*sqrt(1+3/n+1/n^2)) =>
$\lim_{n \to \infty}(n^2*(1-sqrt(1+3/n+1/n^2)))/(n*sqrt(1+3/n+1/n^2))$

=> qui mi inchiodo perchè credo di aver sbagliato qualcosa indietro.

grazie del supporto

marco

[alberto861]

$n^2/{\sqrt(n^2+3n+1)} -n =(n^2/{\sqrt(n^2+3n+1)} -n)(n^2/{\sqrt(n^2+3n+1)} +n)\frac{1}{n^2/{\sqrt(n^2+3n+1)} +n}=
(n^4/{n^2+3n+1} -n^2)\frac{\sqrt(n^2+3n+1)}{n^2 +n\sqrt(n^2+3n+1)}=
{n^4-n^4-3n^3-n^2}/{n^2+3n+1} {n\sqrt(1+o(1/n))}/{n^2(1+\sqrt(1+o(1/n)))}=
{n^3(-3+o(1/n))}/{n^2(1+o(1/n))} {\sqrt(1+o(1/n))}/{n(1+\sqrt(1+o(1/n)))}=
{n(-3+o(1/n))}/{(1+o(1/n))} {\sqrt(1+o(1/n))}/{n(1+\sqrt(1+o(1/n)))} ->-3/2$ per $n-> \infty$

[giovanni.gallipoli]

Moltiplica per la loro somma e dividi; dopo opportuni raccoglimenti ottieni che il limite è -oo.
Ciao

[@melia]

"marco.surfing":qualcuno è così gentile da dirmi dove sbaglio?

In linea di principio i conti che hai postato non sono errati, ma ti portano ad un punto morto, perché ti rimane ancora una forma indeterminata $oo*0$.

Dopo aver fatto il denominatore comune devi razionalizzare e quindi raccogliere $n^3$

[Lord K]

"marco.surfing":
$\lim_{n \to \infty}n^2/(sqrt(n^2+3n+1))-n$ => $\lim_{n \to \infty}(n^2-n*sqrt(n^2+3n+1))/sqrt(n^2+3n+1)$ => $\lim_{n \to \infty}(n^2-n*sqrt(n^2*(1+3/n+1/n^2)))/sqrt(n^2*(1+3/n+1/n^2)))$ => $\lim_{n \to \infty}(n^2-n^2*sqrt(1+3/n+1/n^2))/(n*sqrt(1+3/n+1/n^2)) =>
$\lim_{n \to \infty}(n^2*(1-sqrt(1+3/n+1/n^2)))/(n*sqrt(1+3/n+1/n^2))$

Da qui poi seguendo il consiglio di @melia:

$\lim_{n \to \infty}(n^2*(1-sqrt(1+3/n+1/n^2)))/(n*sqrt(1+3/n+1/n^2)) = \lim_{n \to \infty}(n^2*(1-sqrt(1+3/n+1/n^2)))/(n*sqrt(1+3/n+1/n^2))*(1+sqrt(1+3/n+1/n^2))/(1+sqrt(1+3/n+1/n^2))= \lim_{n \to \infty}(n^2*(1-1+3/n+1/n^2))/(n*sqrt(1+3/n+1/n^2)*(1+sqrt(1+3/n+1/n^2))) =$

$ \lim_{n \to \infty}(n*(3+1/n))/(n*sqrt(1+3/n+1/n^2)*(1+sqrt(1+3/n+1/n^2))) = 3/2$

[adaBTTLS1]

al numeratore il segno non dovrebbe essere "meno"? nel prodotto notevole hai riscritto quello che era sotto radice senza modificare i vari segni ...
ciao.

[Marco512]

è vero, i termini sotto radice vanno tutti cambiati di segno, anche se poi tendono a zero dunque numericamente il risultato non cambia...no anzi cambia eccome, viene -3/2

"Lord K":[quote="marco.surfing"]




Da qui poi seguendo il consiglio di @melia:

$\lim_{n \to \infty}(n^2*(1-sqrt(1+3/n+1/n^2)))/(n*sqrt(1+3/n+1/n^2)) = \lim_{n \to \infty}(n^2*(1-sqrt(1+3/n+1/n^2)))/(n*sqrt(1+3/n+1/n^2))*(1+sqrt(1+3/n+1/n^2))/(1+sqrt(1+3/n+1/n^2))= \lim_{n \to \infty}(n^2*(1-1-3/n-1/n^2))/(n*sqrt(1+3/n+1/n^2)*(1+sqrt(1+3/n+1/n^2))) =$

$ \lim_{n \to \infty}(n*(-3-1/n))/(n*sqrt(1+3/n+1/n^2)*(1+sqrt(1+3/n+1/n^2))) = -3/2$

[/quote]

[Lord K]

Grazie per la correzione!