Limsup e liminf

[riccardop91]

Salve a tutti.

Qualcuno potrebbe spiegarmi il concetto di liminf e limsup di una successione?
Non riesco a capire la definizione che dà il mio libro (Marcellini - Sbordone).

$ "lim inf" _(( n -> +oo )) a_n ="sup"_((k in NN)) "inf"_((n >= k)) a_n $

$ "lim sup" _(( n -> +oo )) a_n ="inf"_((k in NN)) "sup"_((n >= k)) a_n $


Grazie in anticipo per le risposte.

[j18eos]

Benvenut*, cosa non capisci della definizione?

[Zero87]

Se ti aiuta, segnalo questo:

http://it.wikipedia.org/wiki/Limite_sup ... _inferiore

Ovviamente puoi anche provare la definizione di wikipedia inglese che enuncia anche delle proprietà di questi.

[riccardop91]

Non ho capito cosa rappresentino nella successione, per gli esempi che ho trovato sembrano essere i valori di massimo e minimo raggiunti, ma evidentemente non è così.

[j18eos]

"riccardop91":...sembrano essere i valori di massimo e minimo raggiunti, ma evidentemente non è così.

Infatti, non è così! Forse sarebbe meglio iniziare dalla dimostrazione della loro esistenza per capire cosa indicano.

Il primo passo è dimostrare l'esistenza di tali limiti: essendo per definizione [tex]$\liminf_{n\to+\infty}a_n=\sup_{k\in\mathbb{N}}\inf_{n\geq k}a_n$[/tex], si può definire la successione estratta di [tex]$\{a_n\in\mathbb{R}\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex] costituita dagli estremi inferiori del suo sostegno con l'ignorare i primi [tex]$k-1$[/tex] termini, cioè [tex]$\{\mathbb{R}\ni b_k=\inf_{n\geq k}a_n\}_{k\in\mathbb{N}}$[/tex]. Tale successione [tex]$\{b_k\in\mathbb{R}\}_{k\in\mathbb{N}}$[/tex] è monotona non decrescente, ovvero [tex]$\forall k\in\mathbb{N},\,b_k\leq b_{k+1}$[/tex]; prova a dimostrarlo da sol*, perciò essa è determinata, ovvero [tex]$\exists=\lim_{k\to+\infty}b_k=\sup_{k\in\mathbb{N}}b_k=\sup_{k\in\mathbb{N}}\inf_{n\geq k}a_n=\liminf_{n\to+\infty}a_n$[/tex]. Analogamente puoi dimostrare che [tex]$\limsup_{n\to+\infty}a_n=\exists$[/tex], per comodità di spiegazione pongo [tex]$\{\mathbb{R}\ni c_k=\sup_{n\geq k}a_n\}_{k\in\mathbb{N}}$[/tex]. Essendo: [tex]$\forall k\in\mathbb{N},\,n\geq k,\,b_k\leq a_n\leq c_k$[/tex] si ha per cominciare che [tex]$I=\liminf_{n\to+\infty}a_n\leq\limsup_{n\to+\infty}a_n=S$[/tex]; da pronostico una successione sarebbe convergente se e solo se [tex]$I=S=a$[/tex] ed [tex]$a$[/tex] ne sarebbe il limite, prova a dimostrarlo; quindi il mistero non è svelato nel caso in cui [tex]$I Spiego meglio quest'ultima affermazione: [tex]$\liminf_{n\to+\infty}a_n=I\stackrel{de f}{\iff}\begin{cases}\forall\epsilon>0,\,\exists n(\epsilon)\in\mathbb{N}\mid I\leq a_{n(\epsilon)}0,\,\exists n(\epsilon)\in\mathbb{N}\mid S\geq a_{n(\epsilon)}>S-\epsilon\\\exists m_2\in\mathbb{N}\mid\forall n\geq m_2,\,a_n\leq S\end{cases}$[/tex], posto [tex]$m=\max\{m_1;m_2\in\mathbb{N}\}$[/tex] si ha che [tex]$\begin{cases}\forall\epsilon>0,\,\exists n_I(\epsilon)\in\mathbb{N}\mid I\leq a_{n_I(\epsilon)}0,\,\exists\,n_S(\epsilon)\in\mathbb{N}\mid S\geq a_{n_S(\epsilon)}>S-\epsilon\\\forall n\geq m,\, I\leq a_n\leq S\end{cases}$[/tex] come ho scritto prima.

Visto che ieri ho fatto un esame ed avendo i grilli per la testa spero di non aver trascritto la loro melodia ma la melodia della matematica.