Limsup di una composizione
Ho una successione di funzioni $f_n=g_n\circ f$ crescente e devo verificare questi passaggi:
$\text{sup}_n (g_n\circ f)= \lim\text{sup}_n (g_n\circ f)=(\lim\text{sup}_n g_n)\circ f$
La prima uguaglianza direi che vale perché la successione è crescente, ma la seconda?
Il fatto che io non possa separare subito il $\text{sup}$, cioè fare $\text{sup}_n (g_n\circ f)=(\text{sup}_n g_n)\circ f$ credo che dipenda in qualche modo dal fatto che $g_n$ non è in generale monotona, giusto?
$\text{sup}_n (g_n\circ f)= \lim\text{sup}_n (g_n\circ f)=(\lim\text{sup}_n g_n)\circ f$
La prima uguaglianza direi che vale perché la successione è crescente, ma la seconda?
Il fatto che io non possa separare subito il $\text{sup}$, cioè fare $\text{sup}_n (g_n\circ f)=(\text{sup}_n g_n)\circ f$ credo che dipenda in qualche modo dal fatto che $g_n$ non è in generale monotona, giusto?
Risposte
Accidenti come vanno giù alla svelta i messaggi qui in analisi 
Comunque non l'ho ancora risolto 
Comunque non l'ho ancora risolto
Facciamola facile. Fissato \(x\) e posto \(y = f(x)\) stai dicendo che
\[
\sup_n g_n(y) = \limsup_n g_n(y) =: (\limsup_n g_n)(y)
\]
dove la prima uguaglianza segue dalla monotonia mentre la seconda è la definizione della funzione \(\limsup_n g_n\).
Intendevi questo oppure ho frainteso?
\[
\sup_n g_n(y) = \limsup_n g_n(y) =: (\limsup_n g_n)(y)
\]
dove la prima uguaglianza segue dalla monotonia mentre la seconda è la definizione della funzione \(\limsup_n g_n\).
Intendevi questo oppure ho frainteso?
"Rigel":
\[
\sup_n g_n(y) = \limsup_n g_n(y) =: (\limsup_n g_n)(y)
\]
dove la prima uguaglianza segue dalla monotonia mentre la seconda è la definizione della funzione \(\limsup_n g_n\).
Intendevi questo oppure ho frainteso?
Una volta passati al limsup il discorso mi torna abbastanza... Diciamo che vorrei avere ben chiaro il motivo per il quale invece non posso dire \(\sup_n g_n(y) =: (\sup_n g_n)(y)\) e penso che sia perché non posso essere certo che \((\sup_n g_n)\) esista, mentre per ipotesi so che esiste \(\sup_n (g_n(y)) \), giusto?
Di norma la funzione \(\sup g_n\) si definisce come \((\sup g_n)(y) := \sup g_n(y)\).
Chiaramente si tratterà di una funzione a valori estesi.
Chiaramente si tratterà di una funzione a valori estesi.
Forse è meglio che io chiarisca dove voglio arrivare
Ho una funzione misurabile $h$ e una successione $f_n=g_n\circ f$ crescente e che converge puntualmente alla $h$. Voglio provare che anche $h$ si può scrivere nella forma $h=g\circ f$ e faccio così:
$h=\text{sup}_n (g_n\circ f)= \lim\text{sup}_n (g_n\circ f)=(\lim\text{sup}_n g_n)\circ f$, cioè prendo $g=\lim\text{sup}_n g_n$.
La prima uguaglianza è per definizione, la seconda vale perché la successione è crescente. La terza è, come hai detto tu, la definizione di limsup. OK?
Quello che mi chiedo è il motivo di passare al limsup, cioè perché i passaggi non possono essere
$h=\text{sup}_n (g_n\circ f)= (\text{sup}_n g_n)\circ f$.
Spero di essermi spiegato un po' meglio
Ho una funzione misurabile $h$ e una successione $f_n=g_n\circ f$ crescente e che converge puntualmente alla $h$. Voglio provare che anche $h$ si può scrivere nella forma $h=g\circ f$ e faccio così:
$h=\text{sup}_n (g_n\circ f)= \lim\text{sup}_n (g_n\circ f)=(\lim\text{sup}_n g_n)\circ f$, cioè prendo $g=\lim\text{sup}_n g_n$.
La prima uguaglianza è per definizione, la seconda vale perché la successione è crescente. La terza è, come hai detto tu, la definizione di limsup. OK?
Quello che mi chiedo è il motivo di passare al limsup, cioè perché i passaggi non possono essere
$h=\text{sup}_n (g_n\circ f)= (\text{sup}_n g_n)\circ f$.
Spero di essermi spiegato un po' meglio
Diciamo che \(f: A \to \mathbb{R}\); indichiamo con \(B := f(A)\) l'immagine di \(A\).
Per ipotesi sai che \((g_n(y))_n\) è crescente per ogni \(y \in B\).
Definisci \(g := \sup_n g_n = \lim_n g_n = \limsup_n g_n\) in \(B\); in generale avrai \(g(y) \in (-\infty, +\infty]\) per ogni \(y\in B\).
Infine definisci \(h = g\circ f\); questa funzione è definita in \(A\) e, per costruzione, soddisfa le tue richieste.
Per ipotesi sai che \((g_n(y))_n\) è crescente per ogni \(y \in B\).
Definisci \(g := \sup_n g_n = \lim_n g_n = \limsup_n g_n\) in \(B\); in generale avrai \(g(y) \in (-\infty, +\infty]\) per ogni \(y\in B\).
Infine definisci \(h = g\circ f\); questa funzione è definita in \(A\) e, per costruzione, soddisfa le tue richieste.
Volevo riprendere questa discussione. Avrei lo stesso dubbio di retrocomputer e sinceramente non riesco a capire perchè sia necessario passare al limsup e non ci si può accontentare di spezzare $$\sup_n (g_n\circ f) = \sup_n (g_n)\circ f.$$
Grazie mille a chiunque risponderà.
Grazie mille a chiunque risponderà.
up!
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